波动力学的发展

第15卷第4期中国传媒大学学报自然科学版20084F 12 A JOURNAL OF COMMUNICATION UNIVERSITY OF CHINA(SCIENCE AND TECHNOLOGY)波动力学的发展黄志洵(中国传媒大学信息工程学院,北京100024)摘要:本文是对波动力学(WM)进展的概迷。波动力学的发展源远流长,最旱发端于最小作用原理,该原理可以说是“众理之母”。对波动力学贡献最大者是物理学家 Erwin Schrodinger,其次是 Louis de broglie;前者提出的schrodinger方程(SE)不仅用于处理微观粒子的运动,而且早已用来分析一些宏观科学技术问题。 Schrodinger本人没有来得及在有生之年研究非线性 Schrodinger方程(NSE,亦称NLS);而 de broglie却曾致力于非线性波动力学(NLWM)的研究,并将其与孤立波联系起来。当前大量波动力学研究工作涉及数学上的非线性微分方程对其物理学意义反而有忽視的倾向。对电磁波的研究工作仍是波科学的重要方面,其基本理论尚待澄清之处甚多。波动力学的发展表明,经典电磁波方程应与量子力学波方程联系起来研究,孤立地讨论经典的场与波的时代旱已结束。关键词:波动力学;波方程; Schrodinger方程;孤立波中图分类号:TNo11文献标识码:A文章编号:1673-4793(2008)04-0001-16Advances in Wave Mechanics ResearchHUANG Zhi-XunCommunication University of China, Beijing 100024)Abstract: This paper get a general survey of advances in Wave Mechanics. The development of WaveMechanics goes back to ancient times. The principle of least action is the source of Wave Mechanics,soit is the mother of several principles. Erwin Schrodinger was the greatest contribution scientist of WaveMechanics, secondary was Louis de broglie. The Schrodinger equation not only can treat the movement ofmicroscopic particles, but also can analysed some of the macroscopic scientific problems. There's no timefor Schrodinger to study the non-linear Schrodinger equation NIS), but de broglie devoted oneself tothe study of nonlinear Wave Mechanics, and established contact with the solitary waves. At present, themost research works involve the nonlinear differential equations in mathematics, but ignore the physicalmeaning. In the sciences of waves, the study of electro-magnetic waves are important field, many problems demand clarification. From the Wave Mechanics point of view, we must integrate the classic electromagnetic wave equation with the Quantum Mechanics wave eqution, the isolated discussion age of classic fields and waves was extremely early ended.Key words: wave mechanics: wave equations; Schrodinger equation; solitary waves中国煤化工CNMHG收稿日期:2008-06-16作者简介:黄志洵(1936-),男(汉族),北京市人,中国传媒大学教授、博土生导师中国科学院电子学研究所客座研究员。中国传媒大学学报自然科学版第15卷Schrodinger在讲演中论述了轨道概念的无效性;指1引言出新量子力学的特点—逻辑上变“不是……就是…”为“既是……又是”;人们不再可以讲何者真波动是自然界普遍存在的现象。人类早期观察正发生,只能说在某一情况下将观察到什么。另外较多的波动是水面波以及由弦或膜的振动导致的在不同条件下可能只用波动理论或只用粒子理论来机械波这些都具有可视的形态。田野里的麦浪也解决问题。是波。后来逐渐认识了一些不可目视的波动,如声波、电磁波、光波。20世纪的研究深入到微观层次之后,发现了物质波(如电子运动伴随的波动),又提出了几率波。波动的参数包括波长、频率、振幅、相位、速度、能量、动量等。虽然严格的线性波很少,但许多波呈现出线性。尽管对波动的研究开始得很早,但至今仍常令人陷入迷茫。例如关于电磁波的属性;关于微观粒子的波粒二象性;关于波函数的本质;关于光的本性,等等;至今仍是众说纷纭。本文是从波方程图1光线穿过大气层到达地面( wave equations)入手而论述的,因为描写波动的函所谓最小作用原理是 Fermat科学思想的基础数一定含有时间变量,并以方程的形式勾勒出波的最早是古希腊学者 Heron(约公元3世纪),在光学时空关系。从本文内容可知,就力学、声学光学电方面他证明当一条光线被反射时入射角等于反射磁学而言,波动遵循着大体上相同的规律。角,并且光线此时所走是最短路径。公元6世纪时波动力学的英文写法是 wave mechanic,它的主的学者 Olympiodoru则在其著作《反射光学》中说:要创立者是 Erwin Schrodinger他的工作承前启后,“自然界不做任何多余的事或不必需的工作”。法顺乎自然沟通微观与宏观因此成为本文的核心内国数学家P.Fem(1601-165)曾提出最小光程容。本文原为给在读博士生的讲稿现整理成文,以原理,在1657年和162年他论证说:“光线总是以飨读者。费时最少的路径行进”。假定光由真空射向非真空媒质,后者的折射率n=c/v,v是光在该媒质中的速2波动力学的基础度。如媒质为非均匀的,则n=n(x,y,z),v=v(x,y,z)。那么当光沿曲线x(r),y(r),z(r)由第1点193年 E. Schrodinger的Nobe获奖演说,题目先进到第2点时,需要的时间为便是“波动力学的基本思想”。他首先通俗地说明ds光线从太空向地球表面大气层的入射(图1),进入=|ds=t大气层越深,空气密度就越大,光线传播越慢。光线走的是弯路,虽路径较长却费时较少,会比直线路径n(x,y,z)√x+y2+d(1)更早到达终点。表面上舍近求远实际上舍慢求快,式中c是真空中光速n是媒质的折射率,v是光在这是大自然的本能,是 Fermat原理指出的规律,他媒质中的速度。 Fermat证明说,光线由1点到2点称该原理为波理论的精华。在力学中, Hamilton原所走的路径是使T为极小的路线。证明这原理时理对质点运动的描述与 Fermat原理相似,这表示大他使用了变分法(亦即泛函分析)。所谓泛函不是自然似乎有着同样的规律。 Schrodinger认为应把质般中国煤化工泛函极值的问题即点的力学过程建立在波动力学的基础上并且指出,变分作8T;最小光程Fermat原理的局限性已日益显露:它无法对波动过原理CNMHG程作精确的研究。特别是,当力学系统的尺寸很小,87=8|ndl=0例如原子这样的微小系统,旧阳的观点和方法会失效。第4期黄志洵:波动力学的发展1744年,法国数学家 P L Maupertuis提出了最可求出电容C~,二者平均即得待求电容。小作用原理中“作用量”的定义:作用量是质量W. R. Hamilton(1805-1865)是英国数学家速度、距离的积的积分。但只有同是法国数学家的物理学家在1835年发表的一篇论文中,他引进作JL. Lagrange(1736~1813)在其动力学的论述中才用积分(即动能与位(势)能的差对时间的积分)把最小作用原理赋与具体的形式—对单个质点而E-Udi言质量、速度和两点间距离的积的积分,即作用量A为式中(E-U)称为 Lagrange函数;现在 Hamilton允许有不受限制的比较路径,且不要求能量守恒A =mudlHamilton最小作用原理认为真实运动是使作用稳定式中p=mv是质点(粒子物体)的动量。现在对质的运动;而在保守系统(E+)= Const.时, Hamilton点的实际路径而言A必须是极小值,亦即最小作用原理退化为 Lagrange原理。 Lagrange原理对非保守原理可写作系统也成立,并且位(势)能U可以是时间的函数。令L=E-U,由上述积分的变分为零条件( Euler方程)可得最小作用原理认为,自然现象和自然变化都是为了al d aL0(k=0,1,2,…,n)(6)使lpd最小。od of variation”,但他的前辈 L Euler(1707-1783)函数∥多ge运动方程类似。 Hamilton还引入一个这与L数学上的变分法, J. L Lagrange称为“ the meth却称为“ the calculus of variation"。 Euler- LagrangeH(p1,q,t)=-L+∑Pqa的贡献在他们的时代并不为人注意,只是后来才日H的物理意义是总能量。总之, Hamilton最重要的益显现出其重要性。 Lagrange出版了他的名著《分著作是完成于1835年的《 General Methods of Dynam析力学》,书中把变分法应用于动力学,并秉承最小ics),其中引人注目地找到了表现 Newton动力学的作用原理,从而得到了著名的 Lagrange运动方程。另一种方法。 Hamilton在建立方程的新形式时是从d,E、Ek数学美出发的,当时不认为是必须的—人们可以+=0(i=1,2,3)(5)q;0;继续用 Newton方程的原有形式。而 Hamilton量,是式中E、U分别表示质点的动能、位(势)能;q代表物理学中表示总能量的参数,是动力学变量的一个广义坐标,即x=x(q;),y=y(q),z=x(q)。这是3函数。个常微分方程的联立方程组,物理上对应 Newton第有了 Hamilton函数的H定义,可以得到运动方定律(F△y)总能量(E+U)是不变程的形式即一阶常微分方程的方程组:ahaH的。 Lagrange方法的特点是,需要知道能量的情况,(i=1,2,…,n)(8)但不需要知道作用力。这样,就有了至今仍在使用因此,如知道函数H就可以作出2n个微分方程并的 Lagrange分析力学的对偶能量法。运用 Lagrange求解该方程组。德国数学家 K. Jacobi(1804-1851变分、对偶 Lagrange变分等概念,以及泛函分析的原发展了 Hamilton的思想,使新的 Hamilton算子得以理,可以解决力学以外其他物理分支的问题例如电形成,并得到新的 Hamilton-Jaob偏微分方程。磁学问题。这时,力学量的坐标位置q、速度(d实际上, Hamilton认为质点(包括小到石块大到d)、动量p力(-4p/d),分别对应电磁量的电位行星)的运动也受与 Fermat原理相似规律的支配,d场强E电通量密度D、电荷密度p。例如,在20即与最小光程原理相似。虽然 Hamilton没有明确世纪90年代曾有人用 Lagrange方法求 TEM Cell指中国煤化工最少的路径”,但(一种电磁兼容学装置)的电容取得成功一在凹 HamICNMHG必须是最小。至泛函情况下,平衡时能量为极大,故电容有极小值。此,我们看到不同国家、不同时代的科学家得到了相故通过给定电荷可求出电容C,通过电位的变分同的结论,并且涵盖光学、力学两大领域。实际上中国传媒大学学报自然科学版第15卷由最小作用原理可导出物理学中所有的运动方程,V2F+oF=0故被人们称为“众理之母”。这是人们熟悉的 Helmholtz方程。1865年 J. C. Maxwell(1831~1879)在英国《皇家学会会报》上发表了论3波方程的早期发展文“电磁场的动力学理论”,提出了“电磁场的普遍方程组”,他按直角坐标写出20个标量方程,它们最早的波方程是从力学和声学两大领域的结合可概括为6个矢量方程和2个标量方程。此外,部诞生的。在欧洲,18世纪时的音乐创作已达到很 Maxwel导出按磁感应强度B而写出的波方程高水平,促使科学家们研究乐器的发声原理例如弦和膜的振动。大数学家 L Euler(1707~1783)甚至V2B=7u 8B写过一本书《音乐理论的新研究》,讨论怎样才能得式中K=4me,是光速,上述 Maxwell波方程的现到和谐的乐音。继1727年 J Bernoull导出弦振动代写法是方程(一维波方程)之后,1764年 Euler求解了下述弦振动方程f(z,)_10fx,)式中业是矢量函数或E而n2=1/ap;上式在形(9)式上与1759年的 Euler方程相同。这里z是弦放置的位置和方向∫是弦的横向位移19世纪中期开始的电讯建设热潮推动了基础参数c与弦质量有关。 Euler的论文“粗细不匀弦的理论的研究和发展。1854-1856年间,英国物理学振动”讨论了振动的振幅和频率与弦(质量分布、长家 Lord Kelvin(1824-1907)参考1811年的 Fourier度)的关系。1763~1770年间,R. d Alembert热传导方程以及1847年的 Kirchhoff电路定律提(1717-1783)用分离变数法求解上述弦振动方程,出了下述方程得到下述形式的解f(z,1)=d(at+2)+中2(at-z)式中u=u(x,)是沿z轴放置的平行双导线的电压这实际上是一对行进方向相反的行波。另外,1732函数,、C为单位长线的电阻、电容。 Kelvin以此理1733年间 D. Bermoy指出弦振动有许多(理论论指导了大西洋海底电缆的敷设,它是不含电感项上是无限多)模式,其中最慢的模式是最低音(现在的经典电报员方程。 Kelvin方程并非从 Maxwell方我们称为主模)。1753年 J Bermoulli提出:多个模程组出发,因该方程组在10年后才出现。经能同时存在,使弦发出许多谐音。0. Heaviside改进后的(包含电感项的)经典电报1759年 L Euler得到二维波方程,来自对矩形、员方程组( classic telegraphist' s equations)的现代形圆形鼓膜振动的分析式为al, df-1 dax d c otdz式中∫=f(x,y,)代表鼓膜的位移,c是由膜质量和= -gu-C(15)张力决定的常数。 Euler的论文题目是“论声音的传zOt播”,从一维、二维分析到三维;给出了三维波方程式中i=i(z,1)是考虑u(,1)的位置的电流,g、L为单位长线的电导、电感。笔者曾用3种方法进行推(11)导以证明(14)、(15)式的正确,其中2种方法用式中 Laplace算子v2=V·卩sa2,aMaxwell方程组分析,1种方法用 Kirchhoff定律分析中国煤化工出,经典电报员f(x,y,x,t)是振动变量,而振动可以是力学的或声方程时会降低。另外,学的。大约100年后,1860年HLF. Helmholtz在由于CNMHGSchelkuno提出分析管风琴中的空气振动(声学振动)时,引入简谐了广义电报员方程组( generalized telegraphist’se函数即假定∫(x,y,x,4)=F(x,y,x);代入后得 quations)6。第4期黄志洵波动力学的发展联立(14)、(15)两式,消去或消去u),可得a波性)。从 de broglie的假设性理论观点出发,任何(或i的单一变量的方程;为方便计以(x,t)代表能量E、动量P的粒子都伴随有波动,其频率f波长u(x,)或i(z,t)则有λ可由下式算出Fy ey(16)(20)at式中p=rC+lg,q=rgu;(16)式应理解为一对方21)程,它们是经典电报员方程组的又一形式。如取L0,g=0;则有P=rC,q=0,故有式中用 Planck常数h把粒子和波动联系起来。例dψy如当电子速度v=100cm/s时,可以算出λ=0.07(17)cm。1927年,C. J. Davisson和GP. Thomson以实验上式是经典电报员方程的早期形式。另外,如取r证明电子受品体衍射产生的波动现象与 de broglie=0,g=0,则p=q=0,故有预言在数据上吻合,因而 de broglie获得1929年的&2=lcdrFy , anobel物理奖,1937年又将Nbel物理奖授予 Davisson和 Thomson。这是一维的电磁波波方程。de broglie的假设是大胆的,因为对电子或原子回到(16)式,把ψ写回电压函数u(z,t),并且类有静止质量的物质粒子,从逻辑上论证“一定仅取r=0,可得有对应的波动存在”是困难的。假如有这样的波,可以预期它的运动方向与粒子行进方向相同,故可写出其复数波函数:令"=(LC)-2,得(7,)=“ndu_1du⊥如(19)波的参数是角频率a和波矢;平面波的等相面由式中是一个常数;4=(,)原来代表电压现在(-,)=常数给出,这些平面(也就是波)以相可看成普适函数。式(19)是一个双曲型偏微分方速n,传播:程,在数理方程中具有更广泛的意义。它也可写成(19a)假定与此波对应的粒子速度为v,则按 de broglie理由上式可以认为与 Klein· Gordon方程相似。论与粒子(m,v)对应的波动的波长λ=h/mv;由于粒子能量是m2,按量子理论对应频率f=mc2/h;这4 de broglie波的含意样就有从19世纪末到20世纪初,对微观粒子(电子、因而粒子速度v≠vn;在 de broglie理论中群速才是原子、光子)的研究成为科学界的重点;人类对波动粒子速度(v=v的认识进入了新阶段。1913年 N. Bohr提出了定态跃迁原子模型理论,成功地解释了氢光谱的 Balmer从形式上看, de broglie理论可以理顺物理学中看起来迷茫的一些关系。例如对光波而言在把光公式,但该理论也遇到一系列困难。1923年Lde子也看成“粒子”时按最小作用量原理有Broglie提出与运动粒子相应的相波( phase waves),并将其应用到以闭合轨道绕核运动的电子,得到了d l-d=0Bohr量子化条件。1924年他在巴黎大学的博土论由于文“量子理论研究”中论述了光子学说( A. Einstein波长中国煤化工,A:光在媒质中于1905年提出)出现后光的波动性和粒子性的矛CNMHG盾,这两者均有各自的实验证明。他认为在原子中-Ndl=o的电子不能认为是纯粒子的,而应该有周期性(即故得6中国传媒大学学报自然科学版第15卷dI= o中,应将可观察量E4P理解为算符:这就是前文的(2)式,亦即 Fermat最小光程原理。V以上推导使用关系式p=,不能用P=mv。另外,并作用于波函数W(,),则由上式得光在非色散媒质中传播时,其相速与群速相等:oh d=-2mvy(23这是自由粒子的含时 Schrodinger方程,显然它是非以上是考虑光子的情形。现在再考虑非相对论相对论的。但在狭义相对论(SR)中可证明性自由粒子;可以证明 de broglie波的色散方程(ak方程)为式中E=m2是总能量(E=E4+E);在QT中,上式可以写成-k2(28)式中h=h2m,k=2m/A;故可求群速Ds- dk mm(25)亦即故群速与粒子速度相等。最后,考虑相对论性粒子,h2y=(-h2y2+m2)v(28a)取这是O. Klein和W. Gordon于1926年导出的相对论E性量子力学波方程,与 Schrodinger方程的出现是在m是静止时粒子质量;此时 de broglie波的色散方同-时期。K-G方程对时间()和空间(x,y,x)均程为为二次求导数,而 Schrodinger方程对时间是一次求导数,这是重要的区别。量子力学书籍都谈到,Kh(26)G方程存在两个理论自洽性方面的困难;一是存上式与(24)式一样是非线性的同样n,≠,而是,在负能解(E=-√8p+m)不好解释R中不t。那么物质波的对应粒子的速度是否真的与波存在负能量。另一问题是由K-G方程导出连续性的群速相同呢?这是仍然需要研究的问题,涉及到方程后可以证明,几率不是正定的。这两者(负能波包( wave packet)的理解详见后文。总之,deBo-问题及负几率密度问题)一直是尖锐地存在着的glie的贡献是其创意和简明的表达,但他未能给出1928年 P. Dirac提出另一个相对论性量子力学描述运动状态的波方程,这个缺陷很快将由波方程被认为克服了负几率困难。这是因为DncE Schrodinger来弥补。此外, de broglie理论仍有一方程也是对时间一次求导数的些尚待解决的问题。h=Ay(29)5相对论性波方程B是 Hamilton算符:A=20世纪出现了两大物理理论体系—相对论式中( relativistic theory,RT)和量子论( quantum theory,10QT)。与此对应出现了两类波方程——非相对论性00的和相对论性的;前者的实例是 Schrodinger方程, Dirac的作法是令QT服从RT的要求,这点与后者的实例是Kein, Gordon方程和Din方程。我Klen中国煤化工于,Da妙地处们先从经典力学的动能方程出发:理了YHCNMHG电子”的预言,并被后E4=0m2为了方便,这里列出一维情况下两类方程的写式中m、P分别为粒子的质量速度、动量。在QT法:第4期黄志洵:波动力学的发展Fy dy mocEinstein局域性实在论不正确。另一方面,也有物理(Klein-Gordon)学家坚持认为 Einstein是正确的,争论还在继续A=(-Ma+me)y(Dim)(32)6 Schrodinger波动力学以及在处理氢原子中电子的运动时两类方程的写论述 Schrodinger波动力学是本文的重点。在法早期的氢原子研究中,Bohr理论是假设电子轨道的(E+)2y=(-h2d2V2+m")y(Kin分立值,而在 Schrodinger那里是由波方程决定其值。这一方法不仅在光谱解释方面是成功的,又能Gordon)(33)解释光与电子的碰撞、原子在电场和磁场中的性质、Ey=(am·p+Bmc2-2)y(Diac)(34)光的衍射等问题。由于 Schrodinger波动力学解决了原子物理学中的许多问题,瑞典皇家科学院决定时),发现 Schrodinger理论误差最小,Dnc理论次授于他193年度的 Nobel物理学奖。之,K一G理论最差。改进的 Dirac理论(称为约化1926年初E. Schrodinger发表系列论文“quan-Dirac理论)的精确性则可超过 Schrodinger理论。tisation as a problem of proper values”(本征值问题的怎样看待RT和QT的关系,一直存在激烈的争量子化)的第I篇2],立意是考虑简单的(非相对论性和未受扰动)的微观系统,例如氢原子,以便发现论。1959年 Nobel物理奖获得者E.Sege曾指出,量子规则的真正本质。这时他提出函数,它是单非相对论性量子力学(NRQM)到197年已相当完值而连续可微的实函数并由 Hamilton-Jaoi微善,是经典力学的雄伟壮观的推广。但是,相对论性分方程中的S所定义量子力学(RQM)却进展甚小 Dirac理论只限于S=Kigy白旋12粒子,难于用到别的自旋;即使对12自旋并且尝试用变分问题取代量子化条件,该问题有分笔者认为,虽然RQM取得了成就,但尚不能据立的本征值谱(对应 Balmer项)和连续的本征值谱(对应双曲线轨道)。在考虑单电子的情形时得出此断言“SR与QM已经融合一致。”实际上,下述方程A. Einstein从未喜欢过QM,1935年的EPR论文例,就是要给QM以沉重打击。可以说相对论理论体系v2y+2(E+)y=0(35)(RT)与量子力学理论体系(T)的分歧是深刻的、后人称上式为“定态的非相对论性波方程”根本性的。概括起来RT的物理思想是高速性(当 Schrodinger自己称之为“变分问题的Eur型微分速度趋近光速时的重大修正),局域性(传播速度小方程”,并说它对每个正值都有解。然后于光速和空间局域),和确定性(对经典因果律的继 Schrodinger导出一个条件,即文中的公式(15),并承和“上帝不掷骰子”)。这些思想不仅反映在相对此得出氢原子中对应 Balmer项的Boh能级。论(SR和GR)里,也存在于EPR论文和 Einstein-…从论文I来看,近年来有两个说法都不对;其一系列口头陈述中。然而,QT对这些并不认同,例如说, Schrodinger方程不是推导的,而是假设出来的不为速度规定上限空间非局域性认同因果性但不另一说法是, Schrodinger方程的连续性与量子效应认同相对论局域因果律;等等。1985年S. Weinberg的离散性相矛盾。笔者认为,只要重读论文I,就知(1979年Nbel物理奖得主)说:“在我们要求的对道两种批评都不能成立。 Hamilton方程和变分法是称性中有一个似乎与量子力学几乎不相容那就是经典Lorentz不变性。”实际上,迄今的所谓相对论性量子的动中国煤化ger用来构造新子的假说和实验场论,是在局域描述外衣下的空间非局域理论。自事实CNMHG的氢原子波方程,20世纪60年代JBe理论提出,到80年代As-量子化是它的自然结果,而不是像Bor那样需要人pect小组的系列实验,促使多数物理学家认为为地规定量子化条件8中国传媒大学学报自然科学版第15卷德国刊物《 Annalen der Physik)收到论文I的时 de broglie电子相波定理( principle on phase waves of间是1926年1月27日。随后于2月23日收到 electron)得到很大的启发,认为该原理不仅起因于Schrodinger的论文Ⅱ;该文先论述力学与光学之间相对论,实际上对经典力学中每个保守系统均属有的 Hamilton类似,指出 Hamilton理论与波传播之间效。……这里我们用简单的推导说明二者物理思想的内在联系。可以证明, Hamilton变分原理对应于的一致;从电磁波波方程(13)式出发,并取在位形空间中波传播的 Fermat原理。在论文Ⅱ中Y(x,, i, t)=p(x,y, i)eSchrodinger追求一种“波动力学”,即力学的波动表则可证明述。因此他作了重新推导,并使用了经典波方程与de broglie关系式的结合,从而得到文中的(18")式:也可写作div grad +2(E-U)Y=0(36)Vy+()2y=0然后 Schrodinger应用方程求解了从线性谐振子到双原子分子的各种情况,得到了与实验相符的能量至此尚未越出经典电磁理论的范围;但如取A为de本征值。Broglie波长,即把λ=h/m代入上式,得1926年6月23日 E. Schrodinger提交了第Ⅳ篇V论文,发表在《 Ann. d. Physik,》当年(81卷)第4期这个方程用以描述微观粒子的运动及相伴随的波上。这篇长文提出了一个与时间有关的方程标志动;但在力场中运动的粒子的总能量是动能与位着波动力学思维的成熟和量子力学的诞生。这种将(势)能的和波和粒子的分析融为一体的论述极为出色。若波函数、位(势)函数的一般表达为训(,t)、U(F,t),此时有含时 Schrodinger波方程则得naY=Ava+(37)Vψ+52(E-U)ψ=0(42)令B=y2+U,故有故在 Helmho标量波方程基础上引入 de broglie波概念即可得 Schrodinger方程。然而按照 de broglie和 Schrodinger的思想,运38)动粒子速度与波包的群速相同故他们的理论暗示这是时间t的一次、空间坐标的二次微分方程,故在波包和粒子是一回事。这样看待微观粒子与相应波Loren变换下无协变性,不满足相对论要求,是非动的关系,过份夸大了波的地位,是错误的。我们从相对论性方程。换言之满足相对论要求的方程中,(25)式出发计算群速v对波数k的导数:时间、空间坐标的微分次数必定是一样的。对y而du这是线性、齐次方程;所谓线性是指,若v、业2为方程的解,则(ev+e2)也是解,即满足叠加原故v与k有关,说明波包在传输过程中会扩散(发胖)。但粒子在传输过程中却是稳定的故科学界另一方面,假如波函数是定态的,即弘(位拒绝了他们的观念,还开玩笑说:“Shgr方程(势)场是恒定的,即D(r);那么与时间无关的定态比 Schrodinger更聪明”Schrodinger方程可写作:速度的概念是复杂的。在经典物理学中,质点Ey= Ay速度的定义为式中E是系统的能量;上式与前述的某些电磁波的中国煤化工波方程相似。或者CNMHG可以把 de broglie的工作和 Schrodinger的工作联系起来考察。在 Schrodinger的论文Ⅱ曾说他从(45)第4期黄志洵:波动力学的发展但在微观世界中,已不能认为粒子按一定轨迹(路可减小色散及损耗;图2是芯子及圆柱坐标系,其径)运动,提出速度定义对正统量子力学是困难的n1分布函数常取(详细讨论见[13])。那么,当我们说“真空中光速c=299792458m/s"时,指的是光波的速度还是光子的速度?从光速测量的历史看,应当是指光波的速度,因最精确的值来自最精确的光频测量和波长测量。笔者认为迄今还没有人直接测量过单个微观粒子(单光子或单电子)的飞行速度。7用 Schrodinger方程分析缓变图2光纤芯子及圆柱坐标折射率光纤由于 Schrodinger方程与标量电磁波方程的相n,(r)=no似,在分析非均匀光波导(渐变折射率光纤)时可以式中△是代表m1n2差异大小的参数:成功地应用 Wentzel- Kramers- Brillouin建立的求解一维 Schrodinger方程的方法,即把波函数按h的(49)幂级数展开变成电磁场分量按k1的幂级数展开,而这时的介电常数和折射率分布相当于QM中的位而m是r=0时的最大折射率值。由数学知当x小(势)函数U…这样的进展沟通了微观和宏观,时(1-x)=1-2x,故渐变折射率光纤的a()为彰显了 Schrodinger在建立和发展波动力学中的历史功绩。n()=/{1-rB2(n)-鹗>理论不再适用。浅水波的最引人注意的特点是它的非线性。1895年D. J Korteweg和G. de vries最早消失波衰减解kn3(x)6h的浅水波列可近似地当作是孤立波。我们可作如下定个速度位(势)函数,即U(x,y,1);故可认为a=a,义:孤立波是以单峰匀速前进,在传输过程中保持代入流体连续性方程,可得形状、速度不变的一种行波,以单一实体出现并作局域分布。从数学上看,它是非线性方程的具有下述Fu Ju性质的解:①解的局部存在性质即在一定范围内系统受扰动,与在整个空间分布的线性解不同;②解的这是 Laplace方程,边界条件为几何形态(波形)保持不变;③两个(或多个)同样的(当y=-h)波相遇时,由于非线性作用而互相作用,不是简单的+-∞=0线性迭加,并在后来又分开成为与相遇前相同的两(当y=F)个(或多个)波。总之,必须从非线性数学物理学1940年, Kulegan和 Peterson假定位(势)函数有幂出发来研究这种波级数解:孤立子( soliton)概念则稍有区别。过去人们曾认为,两个孤立波相遇时相互作用的非线性将使孤立波性质有很大变化;后来发现有的情况却是相遇求出椭圆余弦波一阶近似解为后仍然按原来各自的形状、速度、幅度继续前进。这F=-2a+3y2K(k)K1(k)-k2(k)]+2an2就有了准粒子性即可把相互作用的不受破坏的孤立波称为孤立子。因此,孤立子一定是非线性方程(k, z/A, t/T的孤立波解,而任一非线性方程的孤波解并不一定K1(k)K2(k)为第一类第二类完全椭圆积分k为就是孤立子。只有那些在与同类孤波相遇后仍能保模值(k=0-1);式(58)中的am为Jabi椭圆函持其波形、速度、幅度的孤立波,才能称为孤立子。数。当k=0,K1(k)=丌/2,函数Cn成为余弦(c);这一观点是在1973年由 A. C. Scott等所确立的。这时有也有中国煤化工1835年 Russell在z-tot(59)水槽CNMHGE时可以不变这叫浅水区的余弦波类似Aiy波。当k=1,K1(k)在孤立波分析中,齐次K方程(也叫浅水波=∞,函数cm成为双曲正割(sech);这时有方程)是十分重要的。1895年,D. J Korteweg和中国传媒大学学报自然科学版第15卷G. de vries提出描写水面孤立波的方程:也就是F'F+(1+F(61)F(x,cx-)+e-s-"12(66a)非线性项为F(aF/m);当F很小时得到线性方程这是一阶孤波解;二阶孤波解为d f af aF0(62)723+4cosh2(z-4t)+cosh4(z-16)(67)解为β[3coh2(x-281)+cosh3(z-12)F=∑A2c-叫P(63)如果t大,上式可近似为下述两个孤立子的组合式中k为波数;可以证明相速v=1-k2,群速v=1F(z-v t=v sech3k2;故波长不同的波波数不同,、均不同。这是色散效应,是由dF/a2项引起的。另一方面,y,(x-)+C如忽略该项,有在这里t1=4,b2=6,C为常数;这就表示两个孤立aF(64)波互相穿越后又分别独立地前进。解为有必要给出孤立波的形状示例。为了使用F=z-(1+F)GRAFTOOL软件以在计算机屏幕上显示孤立波波显然波速为(1+F);故高幅区快过低幅区传输过形,应把双曲正割函数变换为指数函数程中波形会变化(逐渐变陡直至破裂)。这是由非chx线性项引起的非线性效应。因此,KdV方程指出孤立波的形成是色散效应非线性效应二者互相作用如令B=12,=4,则当t=0时有互相补偿的结果。换言之,系统的性质如仅有色散F(x)=-267性或仅有非线性孤立波均不可能产生,也就无所如令B=24,=3则当t=3时有谓孤立子了。在一些文献中,Kdv方程写成下述形式F()=2+c-2+16z-1.8(68)a'I(61a)如此等等;绘图是不成问题的。图6是计算机绘出的图像。式中z是波进行方向,F代表波面B是一个系数。为求解先令E=F(x,t),x=z-t,并取初始条件为f(z)0.025鹾=F(xz)(当t=0)边界条件为(当x→∞)将x代入并作连续积分;在上式满足的条件下积分常数为零,故得求出dx并积分后得1ny3+√3-中国煤化工例CNMHG由此可求出;因此最后可得3第4期黄志洵:波动力学的发展型MS写作9非线性 Schrodinger波方程(NS)a+a2+F=069a)前面提到的KV方程表面上看来是一个浅水这是未计及损耗的齐次方程,其中|FPF是非线性波方程,实际上却与描写微观粒子运动的项。考虑损耗时的非齐次方程为Schrodinger方程的本征值求解有关。这是因为KdⅤ+IFIF=-irF方程的孤立波解对应 Schrodinger算符的束缚态……非线性波方程的求解常常是化为线性方程的亦即本征值求解问题。af +aF+ FIF+rF=0(69 b)1965年,N. J. Zabusky和 D. Kruskal21)数值积分的结果阐明了孤立子的性质。在电脑屏幕研究式中r是损耗因数。假定系统是线性的,且无损微分方程的孤子解是数学史上的突破耗,上式退化为量子力学中存在所谓“波包发散”现象。例如af FF(70)对于无外场的线性 Schrodinger方程,任一解答的波包均随时间的延长而发散。这对于用因果律描写微这与18世纪的 D'Alembert行波方程相似。现在把式(69a)写作观粒子的企图带来了致命的弱点然而,对于af 8F无外场的NIS方程而言,已得到了孤波解——它不+B|F|F=0(69c)具发散性从而为因果律的微观粒子理论创造了前设上式具有复数解提及可能性F=F(xz-)",0=6(x-t2)(71)只考虑一维波动时, Schrodinger方程可写作F、θ是实函数,是包络速度,称为慢载波速度,dt 4.而系统的载波时间相位因子是ep[j(k-o)]。若h为了便于比较,上式改写为n=,上式称为定形波解。当观察者以速度v随波运动,看到的波形静止不变;这与18世纪发现了+a2+fF=0(69)的 D'Alembert波一样。可以证明,vn=t的情况包含式中a是与粒子质量有关的常数,是与粒子位有NS方程的激波解。我们感兴趣的是4≠的(势)能分布有关的常数。情况。1971年, azarov证明,在这当中有一种解是NLS方程包括三个类型:实系数标准型,复系数包络孤立波解(双曲正割脉冲)变态型实系数高维变态型。对无源系统如介质波=6%F(z-2k"](2)导和光纤,忽略损耗时波场与媒质间无能量交换,使用标准型NS方程得出稳定解即可,随后由解掌握总之,从标准NS方程可能得到的解只是周期行介质波导的传输特性。对微波电子管这样的换能系波,具有恒定振幅。故它不能描写换能系统中的增幅波(或衰减波)。统,应使用变态型NS方程,其解是不稳定的。前面的含时 Schrodinger波方程,是关于t的阶微分方程;它是线性的,故解可以线性叠加。NS10逆散射变换法的常见写法则为非线性系统是初始状态变化不导致后续状态成h=-2nyy+{vyy(0)比例变化的系统,表现为非规则、不可预测、整体不亦即等于中国煤化工波动力学中色散+a2y+|w}y=0(70a)引1起间结CNMHG能形成和规整空M上应用在光纤通信技式中a=-M/2m,而B取为1;为与別处的符号一术中,称为光孤子通信。非线性作用能奇妙地造成致,改y为F;又在一维条件讨论,可把实系数标准有序性—孤立波(以及孤立子)在空间上局域、在中国传媒大学学报自然科学版第15卷时间上长寿表现出奇怪的稳定性。……20世纪后被反射(右行),一部分透射过去(左行)。a(k,1)是期,法国数学家JH. Poincare(1854-1912)最先着透射系数b(k,1)是反射系数并有|a|2+|b12=1;手研究非线性常微分方程,以满足计算行星运动和这类似于电磁波传输时遇到不连续性时发生的情稳定性的需要。自 Poincare以后的百多年,非线性况。若t=0,有科学有了巨大的发展。所谓非线性方程的完全可积4(x)/e知+b(k)(x→+∞)性,是说该方程描写的是多周期系统(即 Hamiltona(k)e系统)。对于KV方程的求解,当逆散射变换法成其中a(k)、b(k)分别为透射系数及反射系数。谱E功实现后就建立起KV方程的 Hamilton理论。关及C1、a(h)、b(k)合称为给定位势散射量。令人惊于NS方程的求解改进后的逆散射方法也获得成奇的是若以KV方程的解作为公式(73)的位势功随之建立起NLS的 Hamilton理论。则散射量随t的演化规律为考察如下的本征值方程(H为线性空间算子):地=砂当H=-(0/ax2)+U,上式即 Schrodinger方程(74)a(k,t)=a(k,0)d(a)+[E-U(x,1)1(z)=0(73)b(k,)=b(k,0)c如果已知x→∞时的波函数ψ,即可反过来决定ψ由上述关系,便找到了Kdv方程的求解方法。可从的部分解。就是说如果已知粒子冲击位(势)垒后U0(x)求得t=0时的散射量,利用式(74)写出t时散射到很远处的情况就可以反过来部分地确定粒刻的散射参量,由之反解出t时的位势。上述求解子冲击位(势)垒时的作用。如利用ψ的这个部分方法涉及 Schrodinger方程的逆问题且有变换特点解能构造U(x,1)的解则只要寻求一种变换使ψ故称为逆散射变换法。此外,式(73)的位势由于其与U的关系满足式(73),初值问题便解决了。这是谱E(1)=E(0),而被称为 Schrodinger方程的谱不逆散射变换法的基本思想。与式(73)相联系的初变位势。值问题是KV方程及其初值。1968年,Iax发展了逆散射变换法,将967年, Gordner等为求解Kdv方程提出了逆 Schrodinger算子推广到一般非自伴算子,这种变换散射变换法。若前述初始条件及边界条件成立,可巧妙地把非线性问题转化为线性问题。下面是逆散把KdV方程的解作为定态 Schrodinger方程的位射变换法的运作程序①给定初值问题U=U(k),(势),则式(73)的散射量有确定的规律。这个定态U(z,0)=U(z);②寻找算子H使U成为谱不变位位势方程有两类非平凡解,束缚态和散射态。束缚势;③利用原问题写出H的散射量演化规律;④由态时E的取值为某些小于零的离散值(本征值)。U0(z)求出t=0时的散射量,并写出t时刻的散射波函数是平方可积的。若把本征值记为E,则有归量;⑤求解H的逆散射问题(t时刻),确定位势U化波函数中~Ce4(x→∞)而E=-k2;其中l1结论和讨论C:=lim y (z)eN另外,当散射态时E>0,相应波函数不再为平方可(1)本文论述的时间跨度有200多年,从18世积但仍有界。且当x→∞,其行为就如同平面波的中期到20世纪后期。有一条主线贯彻全文那就是线性组合。令E=k,当U(x,t)>0,对应连续本征 Schrodinger方程,因为它是波动力学的核心。前往值E的本征函数取如下渐近形式:奥地利旅行的人都看到在ema大学主楼内的v(x,t)→a(k,)e声中国煤化工个公式ihψ=ψ(x,t)→e知+b(k,t)(x→∞)CNMHG这有明确的物理意义:当从2→∞向左人射一个单H(即春又的y-1单=);它确是智慧和美位强度的波遇到位(势)垒U(x,1)散射后,一部分的化身值得人们长久地回味。虽然 Schrodinger在第4期黄志洵:波动力学的发展认识上也有错误,虽然本文提到的一些工作(如用Schrodinger方程分析光纤,如对Ns的研究)是后参考文献人所为;但均无损于这位杰出物理学家的光辉……当然 L de broglie也作出了重要贡献;除了物[1]范岱年,胡新和(译).薛定谔讲演录[M].北质波理论,20世纪50年代初他还关注非线性方程。京:北京大学出版社,20071956年他指出波方程中的非线性项将使表征粒子[2] Kline M. Mathematical thought from ancient的奇异解成为可能。1960年 de broglie出版了称为modern times[m]. New York: Oxford Universi《非线性波动力学》的专著。实际上,他一生都在ty Press, 1972.思索波粒二象性问题,并力求从数学上作更好的描[3] Thomson w( Lord Kelvin). Mathematial and绘physical[MJ. Cambridge Cambridge U.(2)由波动力学引发的非线性波方程(均为微niversity Press, 1884分方程)研究日趋复杂化和纯数学化2。以NS[4] Heaviside O. Electromagnetic theory[M].Lon方程为例,它已发展为非稳定非线性 Schrodinger方don: Chelses Publ co. 1893程(UNLS),导数的非线性 Schrodinger方程[5]黄志洵,王晓金.微波传输线理论与实用技(DNS),变形的非线性 Schrodinger方程(MNUs)术[M].北京:科学出版社,1996.反号的非线性 Schrodinger方程(NSs'),等等。此[6] Schelkunoff s a. Generalized telegraphist'se外,需要研究的还有非线性Kein- cordon方程quation for waveguides [J]. Bell Syst Tech(NKG),非线性Drac方程(ND),非线性Bom-hn-Jour,1952,3l(July):784-788feld方程(NB),以及Sine- Gordon方程等;令人眼7]倪光炯陈苏卿,高等量子力学[M].上海:花瞭乱。我们希望今后的讨论有助于物理学的发复旦大学出版社,2004展,而不是主要满足数学家们的兴趣。[8]胡金牛,申虹,氢原子和奇异原子的相对论(3)由于科学家和工程师们多年的努力,对电效应[M].量子力学朝花夕拾(第二辑).北磁波的理论研究和应用实践都有了极大的进展。这京:科学出版社,2007种情况常使人们误以为对电磁波已有了透彻的了[9] Einstein A, Podolsky B, Rosen n. Can quan-解,但情况却并非如此。例如, Maxwel方程组是tum mechanical description of physical reality be个矢量偏微分算子的方程组,它的求解在数学上面considered complete[ J]. Phys Rev, 1935, 47临很大的困难。又如,按照矢量波函数空间理777-780论,旋量场空间与无旋场空间正交,故似乎可把[10]Bes. On the einstein- Podolsky- RosenMaxwell方程组分为两个独立的方程组。再如电磁paradox[]. Physics, 1964, 1: 195-200波并非像一般书籍所说是由电流产生的,数学分析[11 Aspect A, Grangier P, Roger G. Experiment表明激励电流是必须能与电磁场相互作用的电realization of Einstein- Podolsky-Rosen流。专家还指出波长是一个复杂的量,实际上只Bohm gedanken experiment, a new violation of有平面波(或球面波)才有确定的波长,但可以证明Bells inequalities[ J]. Phys Rev Lett, 1982真正的平面波和球面波并不存在。实际的电磁波都49:91-96是赋形波束等相面变形造成各处波长不同2。真[12] Schrodinger E. Quantisation as a problem of空中光速的定义至今亦不明确,光速在不同空间位proper values[J]. Annalen der Physik, 1926置的不同造成定义上的含混,如此等等。这些情况79(4):1-9兑明,对电磁波的研究仍然是任重道远。笔者认为,[13出究中的几个理论从波动力学的发展可知,经典电磁波方程应与量子中国煤化工-2007,9(4):6力学波方程联系起来研究,才称得上是现代电磁理CNMHG论;故可以说孤立地讨论经典场与波的时代已经结[14] Evenson K m, Wells JS,etl. Accurate fre.quency of molecular transitions used in laser中国传媒大学学报然科学版第15卷stabilization: the 3. 39 um transition in CH4and the 9.33 and 10 18 um transition in CO, [21] Zabusky N J, Kruskal M D. Interaction of sol[J]. Appl Phys Lett,1973,2:192-198.tons in a collisionless plasma and the recur-[15]叶培大,吴彝尊,光波导技术基本理论[Mrence of initial states[J]. Phys Rev Lett北京:人民邮电出版社,19811965,15:240-243[16]周树同.光纤理论与测量[M].上海:复旦22] de broglie L Nonlinear wave mechanics[M]大学出版社,198New York: Elsevier Publ. 1960[17]曹庄琪.导波光学[M].北京:科学出版社,[23]黄念宁,陈世荣.完全可积非线性方程的哈2007密顿理论[M].北京:科学出版社,2005[18]陈士荫等.海岸动力学(第二版)[M].北[24宋文淼.矢量偏微分算子[M].北京:科学京:人民交通出版社,1995出版社,1999[19] Russell J S. Report on waves[J. Proc Roy[25]宋文淼,阴和俊,张晓娟.信息时代的物理Soc( Edinburgh), 1844, 2 319-324世界——实物与暗物的数理逻辑[M].北[20]黄志洵.孤立波理论与光孤子通信[J].北京:科学出版社,2006京广播学院学报(自然科学版),197,(3)(责任编辑:龙学锋)中国煤化工CNMHG