导数的应用

2011年第2期杜丹江教育学陇学报2,2011(总第126期)JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATIONSerial No 126导数的应用李国华(齐齐哈尔高等师范专科学校,黑龙江齐齐哈尔161005)[擴要]导数是微分学中最基本的概念,本文通过导数在求切线方程中的应用、利用导数求出函数的单调性、利用导数求函教的最大值和最小值等方面的应用分析,说明了导数的重要性。[关键词]导数;凹凸性;拐点[中图分类号]O174[文献标识码]A[文章编号]1009-2323(2011)02011202导数反映了函数相对于自变量变化而变化的快慢程(2,+∞),单调减少区间为(1,2)度,即函数的变化率,它使人们能够用数学工具描述事物变从此例题可知确定函数的单调性的一般步骤化的快慢及解决一系列与之相关的问题。(1)确定函数的定义域;一、导数在求切线方程中的应用(2)求出使函数∫(x)=0和∫(x)不存在的点,并以例1求曲线y=x在点(1,1)处的切线的斜率并写这些点为分界点将定义域分成若干个子区间出切线方程和法线方程(3)确定f(x)在各个子区间的符号,从而确定f(x)解:y=(x2)=3x2,由导数的几何意义,所求切线的的单调区间斜率为三、利用导数求函数的最大值和最小值设f(x)在(a,b)内的驻点为x1,x2,…,x则比较f(a),所求切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0f(x),f(x),…,f(x),f(b)值的大小,其中最大的是f(x)过(1)点法线的斜率为一1一-,所求法线在例的最,小的是(口在2的方程为y-1=-3(x-1),即x+3y-4=0上的最小值。解:f(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)二、利用导数求函数的单调性令:∫(x)=0得驻点x1=3,x2=-1.x=-1不在给函数单调性的判定法:设函数y=f(x)在[a,b]上连定区间[1,]内故不必讨论续,在(a,b)内可导,f(3)=2×33-6×32-18×3-7=-61(1)如果在(a,b)内f(x)>0,那么函数y=f(x)在f(1)[a,b]上单调增加;f(4)-2×42-6×42-18×4-7=-47(2)如果在(a,b)内∫(x)<0,那么函数y=f(x)在比较这三个数的大小得知,f(x)在[1,4]上的最小值[a,b]上单调减少为∫(3)=-61例2确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区四、利用导数的性质来证明不等式例4证明:当x>1时,3/>3-1解:这个函数的定义域为(一∞,+∞),求这个函数的导数。证明:令∫(x)=2z-(3-1),则f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)解方程∫(x)=0,即解6(x-1)(x-2)=0,r(a)-2-2x-解得x=1,x2=2,这两个根把定义域分成三个子区间:(-∞,1),(1,2),(2,+∞).列表如下:f(x)在[1,+∞)上连续,在(1,+∞)内∫(x)>0,因此在[1,+∞)上f(x)单调增加,从而当x>1时,f(x)>f1,2)(1)由于f(1)=0,故f(x)>f(1)=0,即3/x-(3-)>0由该表可知:函数f(x)的单调增加区间为(-∞,1)和中国煤化工[收稿日期]2010-0801THCNMHG[作者简介]李国华(1977-),男,黑龙江兰西人,齐齐哈尔高等师范专科学校讲师,主要研究方向:高等数学和概率论与教理统计通过这个题我们可以看到当证明不等式时,当不等式称为边际分析方法。不能作差或作商时我们可以用导数的性质来解决。1.边际威本五、利用导数来求函数的极限在经济学中,边际成本定义为产量增加一个单位时所我们已经掌握了求极限的几种方法,但对“。”≥”型增加的成本。设某产品产量为q单位时所需的总成本为C=C(q).由于的极限,不能直接运用四则运算法则求极限,一般先要对其C(q+1)-C(q)=△C(q)≈dC(q)=C(q)△q=C(q)进行适当的变换、化简,使其满足四则运算法则的条件,再所以边际成本就是总成本函数关于产量q的导数。求其极限。变换、化简很麻烦,有时甚至无法化简。那么我2.边际收入们可以利用罗彼塔法则来求其极限。在经济学中,边际收入定义为多销售一个单位产品所塔法则:设函数f(x)与g(x)满足条件增加的销售收入(1)lim f(r)=ling(r)=o(a lim f(x)=lim g(z)=oo),设某产品的销售量为q时的收人函数为R=R(q),则(2)在点x的某邻域内(点x。可除外),(x)及g收入函数关于销售量q的导数就是该产品的边际收人R(x)都存在且g'(x)≠0;3.边际利润存在。(或为∞设某产品的销售量为q时的利润函数为L=L(q),当(当x→x0改为x→∞L(q)可导时,称L(q)为销售量为q时的边际利润,它近似等于销售量为q时再多销售一个产品所增加(或减少)的利时,定理仍然成立润。由于利润函数为收人函数与总成本函数之差,即例5求lim由导数运算法则可知L'(q)=R(q)-C(q)即边际利润为边际收入与边际成本之差例8设某产品产量为q(单位:1)时的总成本函数(单例6求lin1n2x位:元)为C(q)=1000+7q+50q,求(1)产量为100吨时的总成本21nr(2)产量为100吨时的平均成本;lim 2Inr.=0(3)产品从100吨增加到225吨时,总成本的平均变化率;六、利用导数来研究函数的凹凸性与拐点(4)产品为100吨时,总成本的变化率(边际成本)定理设f(x)在[ab上连续,在(a,b)内具有一阶和解:(1)产量为100吨时的总成本为:二阶导数,那么C(100)=1000+7×100+50√100=2200(元)(1)若在(a,b)内∫(x)>0,则∫(x)在[a,b]上的图形(2)产量为100吨的平均成本为是凹的;C(100)22(元/吨)(2)若在(a,b)内∫(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。(3)产品从100吨增加到225吨时,总成本的平均变化例7求曲线y=x2-2x3+1的凹凸区间与拐点。率为解:y=4x3-6x2y=12x2-12x=12x(x-1)2-s22-023325-2200令y=0,解得x=0,x=1(4)产品为100吨时,总成本的变化率,即边际成本为列表来讨论曲线的凹凸区间与拐点0(0,1)(1,+∞)c(10)-=(100+1+50q)1m=(7+25)|r-mf(x)+f(r)点(0,1)拐点(1,0)∽这个结论的经济含义是:当产量为100吨时,再多生产曲线在(-∞,0)及(1,+∞)两个区间上是凹的,在(0,1吨所增加的成本为9.5元1)区间上是凸的,(0,1)和(1,0)是它的两个拐点[参考文献][1]王劲松,高等数学[M.重庆:西南师范大学出版社,2008七、导数在经济分析中的应用[2]顾静相经济数学基础[M.北京:高等教育出版社,2009边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函[3]刘严,丁平新编高等数学[M]大连理工大学出版社,2007数的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法Application of Differential Coefficient(Qiqihaer Specialized Higher Normal School, Qiqihaer, Heilongjiang 161005)Abstract: Differential coefficient is the basic definitI nnlealse. The article attemptsto get the application of tangential equation by differential中国煤化工 esential coeffto get monotoof function and make use of differenCNMHG and minimum offunction, stating the importance of differential coefficient.Key words: differential coefficient; concavity; inflexion[赉任编辑:丛爱玲]