数学 技术 数学教育

第13卷第4期数学教育学报Vol.13, No.42004年11月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONNov, 2004数学●技术●数学教育David Leigh-Lancaster(维多利亚州课程和评价局，澳大利亚)摘要:数学可以部分地理解为是对数、逻辑、空间和结构的功能和模式的研究.技术发展和数学发展之间的联系贯穿整个历史.无论是以手持还是以计算机操作平台为基础，类似电子制表、动态几何系统、统计分析系统以及计算机代数系统等技术都提出了关于数学活动本质的问题.在广泛应用新技术以促进数学学习的准备中，有两个实际问题需要解决:教师的专业发展和恰当的教学资源的获得.关键词:数学;数学教育:技术:数学课程中图分类号: G434文献标识码: A文章编号: 1004 -9894 ( 2004) 040062 -05为确保学生获得一定的方法、使用技术理解数学的过程，在1简介给定情景下所有可能应用的方法和工具中进行理智选择，学本文考虑了学校数学课程中诸如计算器和其它信息交生智力和动手技能的健全发展是必不可少的.学生需要发展流技术(ICT)等应用中的- -些原则性和实践性的问题，以.种对所得结果是否合理的强烈意识，不管有没有借助于技及趋势及策略.从维多利亚的角度出发，考察了高中的数学术，并且能够识别一种数学表示的不同表达形式.这些是不课程.对这些问题所作的全面、综合的思考，是基于对以下同阶段的课程中做数学的补充部分，并且合理地理解相关概几个方面的研究:数学、数学教育和技术之间历史与现实的念、技能和过程将巩固它们在不同理论和实践背景下的有效关系，数学和数学教育的历史和哲学，权威机构、委员会、应用这项工作将集中在数学关键方面:推理和表达、解答、理事会以及政府部门在历史.上和目前所进行的工作，这些部解释和交流.其中，技术将在解决问题和交流方面起到最大门是有关教学、课程和评价中计算器和其它ICT作用和应的协助作用.用的.维多利亚课程和评价权威机构(VCAA)是法定的机2技术构，负责从学前到12年级的课程和评价.数学可以部分地理解为是对数、逻辑、空间和结构的功Mathematics的词根是Math,意思是Learn. Technology能和模式的研究.它提供了一种思考的结构以及一种符号交对应的词根是Tekhne,意思是技艺(Ar)或者技能(Skill).技流的形式，这种结构和符号形式是强大的、富有逻辑的、简术可以看作是技巧或技能(Tekhne)的系统应用(Logia).拉明的、精确的，是一种人们可以借助于理解和处理周围环境丁词中同义词Ars来源于英文单词Art,现在的意思是“...的方式.基本的数学活动包括计算、抽象、假设(猜想)、的技艺(the Artof)”.实际上，古英语Arte或者Artes常常证明、应用、验证、建模和提出并解决问题.在维多利亚，用在历史文献中，表示做某事的方法.例如Roberte Recorde从学前到12年级的数学课程的设计，为学生提供了有价值的16世纪的算术课本名字是The Grounde of Artes--这是的、富有挑战性的数学学习的途径，它们在某种程度上考虑最早出现的用英语写作的文献，因此更加接近于普通大到了更广泛学生的需要.同时，课程的设计还促进学生认识众.有意思的是，公元前1世纪，古老的中国数学课本的名到在技术社会的日常生活中数学的重要性，以及提高学生有字叫做《九章算术》(Nine Chapters on the Mathematical效地使用数学思想、技术和方法处理问题的自信心.Art)，也是用的Art， 与前面提到的涵义相同.牛津词典中课程设计的根本原则是所有学生将从事以下的数学活把“Art”解释为“技能，不同于自然的人类的技能”，也解动: (I) 应用知识和技能:通过学习和实践数学的算法、程释为“作为某种更高级学习的智力工具的某个知识门类”。比序和技巧,并使用它们找到解决问题的方法来学习和掌握已较接近的一一个词是“Artefact"人工制品，在字典上描述为经存在的数学知识的不同方面: (2)建模、 研究和解决问题:“经过人类加工制作的产品”。我们常常听到考古学家在- -些在不熟悉的情景中创造性地应用数学知识和技能,包括需要古遗址中发现各种各样的人工制品，猜测和研究它们的用途观察、建模或者问题解决步骤的真实生活情景; (3) 使用技和价值.考古学家们知道发现的这些“东西(Thing)”是“人术:有效、恰当地使用技术获得结果，这些结果支持数学学工制品”，而不仅是“物体(Object)”", 因为它们与人类在习以及在不同环境中的应用"。特定环境下的生产和娱乐相联系。“ 技术(Technology)” 常在维多利亚，提倡教师和学生使用技术(比如图形和被通中国煤化工urtefacts), 比如移动电CAS计算器，电子表格，图形和数字分析软件包，动态几舌、面的.然而它对于明确何系统，统计分析系统，计算机代数系统)，作为学习新知地承MYHC N M H Gtefac”"的关系是重要识、技能训练、标准地应用、研究的适当工具.与此相关联，的.更准确地说，Technology 是人工制品(Artefact) 和技收稿日期: 2004-08-29作者简介: David Leigh-Lancaser,男。澳大利亚维多利亚州课程和评价局数学主管、专家研究委员会主席，主要从事数学课程、数学教育及赖有评估研究第4期David Leigh-Lancaster:数学●技术●数学教育63艺(An) 的综合-一有目的地使用特定的物体作为工具的事实上,算法和科学的计算器只能以数字模式运行，图各种技艺的系统应用.形计算器可以以数字和图形模式运行，CAS计算器可以集举例来说，我们来考虑一个又长又细的木条,不论大小，数字的、图形的和符号的3种模式运行，另外，这些计算器通常叫做一根“棍".现在棍(和相关的物体，例如柱或杆)能存储大量的文本资料,比如学习笔记、间题的解和注释.在有着各种不同的用途，可以当作柴火、篱笆桩、挖掘工具、过去的大约十年的时间中，具有强大数学及其它功能的、基杠杆、建筑物的建筑材料、打鱼或者耕作工具(锄头或者耙于计算机的和手持的技术有了提高，也包括键盘功能，触摸子)、用于运载的武器(棍棒和矛)、厨房用具(搅拌器和筷板和光电笔(古老的棍又出现了)和语音识别模式的输入和子)，甚至是简单的助行工具(拐杖)等.在以上这些情况操作.这些技术也给其它与数学密切相关的学科和领域提供中，这些人工制品都是从基本的棍通过各种不同的加工处理了更多的功能.在教育中，这些技术已经展开应用，并且将制成的.随着时间的推移，更多地发现了关于棍的更加抽象继续为教学、学习和评价提供新的机会，也将给整个教育体的形式和应用，比如乐团指挥的指挥棒、计数棒、内皮尔骨、系和教师在如何对技术的发展做出有效回应方面提出挑战.滑尺(两个平行的可移动的棍，上面标有对数刻度)等. 这3技术和数学不仅仅是一个物质的棍，而是有用的符号表示.一根小棒，或其符号表示为一条垂直或水平的线段,从史前开始就- - 直技术发展和数学发展之间的联系是贯穿整个历史的.在用来记数.动物大腿骨的各种不同的切口，有时候组成组，有些情况下，数学的发展导致了新技术的出现，比如19世或者是其它材料被用做记数.实际上，罗马数字3表示为lI纪和20世纪初期的数理逻辑形成了现代ICT技术:而在其(垂直线段)，用中文表示是三(水平线段).印度- -阿拉伯它--些情况中,新技术的使用反过来又刺激了数学和数学应的数字符号3，如果稍稍加上一些想象力的话，也可以看作用的进展,比如迭代变换的图形表示导致了混沌理论分析及是3条水平线段由曲线连接而成。当然，其它不完全规则的其在气象学、流体和市场经济行为等其它领域中的应用.物体也可以用来记数，作为单元或者筹码，比如算盘上的珠历史上在各自时期的“新”技术的例子，包括算盘和计数板、算术计算的笔纸算法、机械计算器和电动计算机以及子、计数板上的干豆或者小石头等.随着12世纪意大利的Leonardo Fibonacci将其介绍到欧电子计算机.数学家，和其他每天在实际情况中使用计算和洲，人们把印度- -阿拉伯“铅笔和纸”做算术的技巧看作是表格的人，一直对具有一- 定功能的算法和程序的设计方法和.种激进的、充满争议的革新.经过几个世纪，到文艺复兴装置的可能性感兴趣，这些功能可以使计算有效地运行，这时期，才被意大利的商业银行和会计应用所接受.朱世杰是些想法背后的理论框架,只是在20世纪30年代才由数理逻中国宋末元初的一位最著名的数学家.这个时期是中国数学辑明确地揭示出来，而在此之前数理逻辑已有几百年的历发展的黄金时期，包含有用多项式方程来表示的问题建立起史.然而，可以实施各种计算的设备装置与有记录的人类历来，并运用计数板加以解决.这些方法，是基于操作计数板史一样古老，甚至更早.若干世纪中所发生的变化是人类作上表示多项式系数的矩阵来解决问题的,它们是最早出现的为操作者，所需要输入的数据、运行的方法和对结果进行解计算代数(Computational Algebra). 在每个情况中，技术.释的程度.早期的技术，对数据的每个处理阶段都需要人的(Technology)的使用需要系统应用与相关工具或者人工制f预.在这些技术中,中间结果没有被记录，与计算相关的品相连的技艺，可能是图表、计划、机械或电子装置.历史步骤是无“记忆”的.这样的计算是无法检查的，除非重复上出现过的数学的记数和计算装置主要有:桌上型的有计数一遍、另一方面，“纸笔”的书面计算总可以把中间步骤作板，机械计算器和机器，电机械计算机，电离子计算机及电为外在记忆(纸上的标记)保留下来，以便将来检查.子数字半导体计算机等:手持型的有手(手指)计算器，算在西方，从17世纪开始，人们就在制造用于基本算术盘，电子数字算术计算器，电子数字科学计算器，电子数字计算的简单设备,那个时期的操作者不要求完成计算的中间图形计算器及电子数字计算机代数系统(CAS计算器)等.步骤，只是输入原始数据，并解释最后输出的结果，同时还不论何时，数学超越个人思维活动变成-一个公共的领要投入一些体力，比如转动轮子来启动计算设备。这些发展域，这个过程的中间媒介就是某种形式的信息和交流技的实际动机包括:节约时间做其它工作，提高计算速度，增术. -旦技术为我们所熟悉，它们往往被当成是无形的，它加计算的可靠性.们的应用也是理所当然的.只有当-种新的技术形成的时这些装置的进一-步发展导致了相当复杂的机械计算机，候，或者-一-种已有技术产生某种新的用途时，我们才会停下这个发展一直持续到1937年，电动机械和电子元件在几十来,思考这种应用的益处和适当性.人类是-.种科技的动物，年中很快取代了长久以来使用的更笨重的机械装置.在在我们的种族、社会、历史的、已有的和即将的进化和发展1927年, Claude Shannon利用布尔代数，发展了在计算设备中，技术起着中心的作用.技术使我们的生活更加容易-上开关中国煤化工是，据报道，他所做它们使我们更加轻松、更加可靠地用更少的努力做成某些事的繁重的YH;计算机上完成的，这情.从20世纪70年代初期以来,已经有各种不同的电子技个计算C N M H Gannevar Bush的微分术产品应用于数学和数学教育:算术四则运算计算器，科学分析器，它可以给出包含18个自变量的微分方程的图形解。计算器，各种微机应用软件，图形计算器和近来带有CAS直到最近，计算器.计算机这类术语才开始用来指代“技术的人工制品(Artefact)"， 而不是指操作技术的人.这种的手持计算器.它们的运算功能在逐步扩大.64数学教育学报第13卷称谓的改变是与1940年以来，自动计算和计算装置的演变Further Mathematics是以大量数据分析为核心的离散数相联系的，在这些计算中，操作者不需要干预计算过程的各学; Specialist Mathematics是一-门高水平的纯粹和应用的数个阶段，只要输入数据即可.随着20世纪.上半叶数理逻辑学学习:《数学方法》1~4单元包括坐标几何、函数、代数. .理论和可计算性理论的不断发展，结合电子和其它技术设备微积分和概率，同时为诸如数学、科学、工程学、医学和经的高速进展，人工智能和自动证明理论成为新的主要研究领济学等领域的后续学习提供准备,其中单元3和单元4通常域.类似地，特别是在最近- - 二年中，在数学教学和学习中是必备的，单元1和单元2通常安排在11年级，单元3和使用计算机和计算器的兴趣一直在增长， 而像计算机代数系单元4，与学年结束时的考试，安排在12年级.在2001年统、统计分析系统和动态几何系统这些技术，随着其几十年2月，延续权威机构的前身鉴定委员会的工作，前研究委员在研究领域、工业和商业中的广泛使用，变得更加有用.会认定《数学方法》(CAS)单元1~4从2001年1月到2005复杂的和集成的算法平台在1970 年以后正式发展起年12月31日期间试行.这是一个《数学方法》的平行科目，来，这些平台在数学构造上能自由地运作，并能使使用者可它假设学生都能得到承认的CAS.与此同时，数学方法假以像他们用脑或手一样，定义和操作数学对象.可能最为人定学生都能得到图形计算器.从2006年开始，所有的学校们熟知和使用最广泛的就是各种各样的计算机代数系统,如都将能够为他们的学生提供《数学方法》(CAS)单元Derive, Maple and Mathematica, 出现了许多功能强大、用1-4.对于课程和评价权威机构，教育学、课程和评价之间途明确的数学应用软件,包括电子制表软件、统计分析系统、的一致性，是讨论技术应用的中心部分.这里的- -致性指的动态几何系统软件.几何画板.这些软件是使用专门的程序是在课程结构和目标、数学工作的方法、评价的本质和目的语言编制的，它们的操作界面设计得非专家也可以轻松使之间的结合，尤其是在考试中.回答这个问题，有几种方法用.然而，要有效使用这些可以在各个研究领域中进行调查、可以运用，包括设计校本和外部评价的任务和问题，以及在研究、建模或者问题解决的强大工具，就需要对数学以及相评价的组成部分中自由、积极地运用技术. VCAA目前正在应研究领域的学科有充分的理解.今天，教师和学生已经可反思高中数学课程，维多利亚教育认证委员会(VCE)的关以利用这些工具.于数学学习的咨询草案可以从VCAA网站获得.4数学教育 中的技术的个案研究5在数学课程中数字技术的使用伴随着技术在数学教育中的运用，20世纪后半叶，维案例1运用图形计算器找出两条曲线之间的面积.多利亚的数学教育大致可以分为4个阶段.学生在学习高中数学课程的主要函数、代数和微积分●20 世纪60年代，“新数学”Jean Piaget 和Zolan中，有两个简单而熟悉的函数，它们是定义在实数域上的Dienes的认知方法的出现，与此并行的主要来自于美国的行y=x2和y2= sinx.它们是初等函数，通常在那些课程中还为主义和“掌握学习”，以及滑尺和表的使用.要学习各种的其它函数.积分的一个通常应用就是找出两个●20 世纪70年代，接近于数学建构的“发现学习”函数图像及其交点所围成的区域的面积.只要两个初等函数方法的发展和数学建模的出现(尤其是在70年代后期),主的任意组合能够适当相交.因此，一个很自然的问题就是如要来自英国，以及科学计算器的使用.何根据函数式yi和》来求出面积.●20世纪80年代，数学建模的延续，“问题解决”显然，当x=0时, y1=y2，另外一个使y值相等的点x的出现，特别是来自80年代全美数学教师协会(NCTM),=k，因为1=1, sinx的最大值是1，所有k