轴向运动纱线非线性动力学

第24卷第5期苏州大学学报工科版Vol 24 No, 52004 410 A JOURNAL OF SOOCHOW UNIVERSITY ENGINEERING SCIENCE EDITION)Oct.2004文章编号:1000-19992004)5-0023-04轴向运动纱线非线性动力学冯志华朱晓东兰向军苏州大学机电工程学院江苏苏州215021)摘要以两端约束的轴向运动纱线为分析对象建立了相应的线性波动方程。采用 Galerkin截断法获得了描述轴向运动纱线旳横向振动一阶近似常微分方程。基于多尺度法重点研究了系统主参激共振时系统的稳定性问题获得了稳定性临界曲线的近似解析表达形式。研究结果表明稳定性区域与轴向运动平均速度V及波动速度幅值V1密切相关,V与V1越大不稳定区间越宽。关键词玅线κ galerkin截断迻多尺度法庄参激共振稳定性中图分类号313文献标识码0前言在纺织工程的纺、络、并、捻、桨等工序中紗纱线大多以轴向运动为主体完成相应的工序队从力学模型看此类状况的纱线可近似作为一定张力下的轴向运动弦处理此时纱线的运动或动力行为有可能影响其工艺乃至最终产品的性能与质量。本文以前述纱线为分析对象通过研究期望了解并掌握相关非线性动力行为〔特别是动力稳定性躊性为有关工程技术提供理论指导。近年来许多学者已对轴向运动弦的振动进行了研究取得了一定的成果。 Huang等涉及运动弦三维方向振动的稳定性问题1] Mochensturr等导出了弦振动时的非平凡响应极限环的幅值及其稳定性的解析表达形式3 Pakdemirli、Usoy采用rloqμet理论数值分析了弦振动响应的稳定性问题3并确定了轴向加速弦的稳定性边界4 Suweken等构造传送带振动的渐近近似解以显现系统复杂的动力行为51,agat46、Chen等7用数值或解析分析了静止或运动弦的分岔及混沌现象。本文在导岀轴向运动纱线的横向振动方程的基础上采用 Galerkin截断法并结合多尺度法重点研究了系统主参激共振时的稳定性特性动力学模型考虑图1所示轴向运动纱线模型纱线模型化为弦)在两个固定罗拉间以恒定的初始张力沿x方向以速度Ⅸt)运动现只考虑其在α方向存在横向振动且其振动的位移为τ(x)根据文献5相应的动力学方程为wn t 2V0式中c=√T/p为纱线的波速,Io及ρ为相应的恒定初下标x、t分别代表对位置及时间的导数。假定L为两罗拉在x=0及x=L处无横向振动即边界条件为m YHg中国煤化oCNMHG图1轴向运动纱线模型收稿日期204-08-01择看翻单月起学禽班默接坐要计列方向为非线性动力学与控制24苏州大学学报工科版)第5期(0t)=0;(L(2)在下述分析中纱线的轴向运动速度Vt)设定为v(t)=Vo+ VIcodnt(3)式中V为平均速度,V1、a分别为速度间谐波动的幅值及频率。将上式代入式1)有wm,+(vc2 )Wrr 2vowzt+2Vo VIco nt wmr-nVIsir( Q2t )w+ vicos( ot )u=0(4)2稳定性分析假定式4)满足边界条件式(2)的解为下列级数的展开形式ki.xx,t)=(5)式中(1)及()分别为纱线第k阶广义位移及振型函数现着重分析纱线横向振动的一阶振型近似展开。将式5)代入式4)并采用 Galerkin截断法有q1+ic-v6 )q1-212 Vo VIco at l L2 icos( nt a=0(6)并引入无量纲变量T式中ε为一小参数满足0<≤1将式7)代入式6)得(1-y22y cod or )q1-Ety2a cos( ar )a在纺织工程中紗线的轴向运动速度V(t)通常要远小于其波速c即y≤1若y>1一种不太实际的情况)式8)所述系统将失稳。设a=1-y2并代入式8)得622y2acod(y1=0(9)采用多尺度法对式9)进行一次近似展开设q t e)=Eqd To ,T2)+equ To, T2)(10)式中To=τ,T2=ε2r。将式10)代入式9)并令方程两边有关ε同阶次的系数相同得D5q10+o6q10=0Doqu +woqu =-2DoD2910+2y acod ato x(12)式中D、D2分别表示对T0T2的导数。从式11)可得910= AC T2 xp iwo To )+cc(13)式中c代表前项共轭下同将式13)代入式12)得Doqu+0qu=-2iwo A exd iwo To)+ya fAex (o+wo To ]+Aex (o-wo )To 1)+ cc( 14)本文只限研究系统的主参激共振由此设频率调谐参数满足(15)并代入式14)消除qn中的永年项得中国煤化工2iwgA'-y2aAex( icCNMHG(16)引入笛卡尔坐标变换A(T2)TT2)=iT2)]x(2并代入式摒离实、虚部得稳态相应的调制方程组为第24卷冯志华朱晓东兰向军轴向运动纱线非线性动力学(18)因此从式18)中可方便地获得系统稳定性的临界曲线的解析表达式为并代入式15)有设=最终式20)成为(21)0.10y=0.10.100.10y=0.2y=03unstablea0.050050.05stablestable0.000.002.00.100.10y=0.50.1010.050.000.001.52.0图2系统随参数β变化的稳定区域图B=0050.6B=0.1N0.30.0中国煤化工CNMHG图3系统随参数γ变化的稳定区域图苏州大学学报工科版)第5期图2显示了系统在不同的参数x(无量纲平均速度Vo)下随参数无量纲速度幅值v1)变化的稳定区域变化图类似地图3显示了系统在不同的参数β下随参数γ变化的稳定性区域变化图。从图中可发现系统不稳定区域随参数β及γ的增大而增大换言之減小VaV有利于轴向运动纱线的稳定性。3结论本文在所建立的轴向运动纱线横向振动运动方程基础上基于 Galerkin截断法并结合多尺度法详细分析了系统一阶近似情况下的主参激共振的稳定性问题获得了稳定性旳临界解析表达形式。结果表明不稳定性区域与Va、V1紧密相关随着V与V1的增加不稳定区域变宽。参考文献1] HUANG JS FUNG R F IN C H Dynamic stability of a moving string unergoing three-dimensional vibration J International Journal of Mechanical Science 1995 3x 2): 145-160[2] Mochensturm E M Perkins N C Ulsoy A G Stability and limit eyeles of parametrically exited axially moving string[ J ] ASME Journal of Vi-bration and Acoustics 1996, 1163)346-351[ 3] Parkdemirli M soy A G Ceranoglu A. Transverse vibration of an axially accelerating string[ J ] Journal of Sound and Vibration 1994, 1692)179-196[ 4] Pakdemirli M lsoy A G Stability analysis of an axially accelerating string J I Jourmal of Sound and Vibration 1997 2035)815-532[5] Suweken G, Van Horssen W T On the transversal vibrations of a conveyor belt with a low and time- varying veloctiy[ J I Part 1 :the string-likecase. Journal of Sound and Vibration 2003 264(2): 117-133[6] Tagata G. Parametric oscillations of a non-linear string J ] Journal of Sound and Vibration 1995, 181)51-78[7] Chen L Q Zhang N H u J W. Bifurcation and chaos of an axially moving viscoelastic string J I Mechanics Research Communications 2002 29(1)81-90Nonlinear Dynamics of an Axially Moving YarnFENG Zhi-hua . HU Xiao-dong , LAN XiCollege of Mechanical and Electronic Engineering of Sorchomwe University Suzhou 215021 ChinaAbstract The initial-boundary-value problems of a linear wave equation of an axially moving yarn are consideredThe ordinary differential equation of the first order approximate motion is derived based on the galerkin truncation to deseribe the transversal vibration of the yarn and the principal parametric resonance of the system is thenanalyzed using the method of multiple scales. The equations of approximate transition curves in the plane of thedimensionless frequency and excitation parameter that separate stable from unstable solution are derived Resultsshow that the unstalbe region is closely related to the average velocity Vo and the small speed amplitude of theharmonic motion VI of the yarn ,that is with the increase of both Vo and VI the unstable region become widerKey Words yarn Galerkin truncation ,the method of multiple scales principal parametric resonance ' stability中国煤化工CNMHG