HIV病理动力学模型分析

第12卷第6期北华大学学报(自然科学版)Vol. 12 No 62011年12月JOURNAL OF BEIHUA UNIVERSITY( Natural Science)Dec.2011文章编号:10094822(2011)0640621406HⅣ∨病理动力学模型分析苏双双,王凯,夏米希努尔1.新疆大学数学与系统科学学院新疆乌鲁木齐830046;2新疆医科大学医学工程与技术学院,新疆乌鲁木齐830054)摘要:考虑了CDT细胞的全 logistic自我繁殖,构造了具有治疗的HV病理研究模型,研究了解的存在性、正性及稳定性通过对每个感染T细胞释放的HⅣ病毒平均数量N的讨论,得到:如果NN灬,有无病平衡点和地方病平衡点两个平衡点,但此时无病平衡点不稳定,地方病平衡点是局部渐近稳定的最后通过构造 dulac- Benison函数,得到了地方病平衡点全局稳定的条件关键词:HV;T细胞;渐近稳定;平衡点中图分类号:0175.12文献标志码:AAnalysis of the Dynamics Model of HIv Pathogenesis ModelSU Shuang-shuang, WANG Kai, Xamxinur(1. College of Mathematics and System Sciences, Xin jiang University, Urumqi 830046, China;2. Department of Medical Engineering and Technology, Xinjiang Medical University, Urumgi 830054, ChinaAbstract: HIV virus, which invade the human body, mostly parasitic in the T cells, where they transcribe RNAduplicate, then generate some new ones, at last kill the infected T cells, released from them. According to this wedivide the species in this paper into three kinds: uninfected T cells, infected T cells and HIV. Only uninfected Tcells can be created by body, others can't increase because of external input. Being predator, HIV just add frominfected T cells. We have proved that if NNit the infected steady state is locally asymptotically stable. Both of them are globally asymptotically stable ifone condition is satisfiedKey words HIV; T cells; asymptotically stable; equilibrium1引言自从20世纪80年代艾滋病被发现至今,已有许多关于HV病理学研究结果2,尤其是近些年将数学模型与HV病理学相结合3.我们更好地理解和治疗HV提供了很大的帮助作为威胁人类最强的传染病之一,对HIV病理研究是十分必要的而数学模型这一强大的工具,在史上几次流行病研究中显示出了其强大的威力众所周知,HⅣV进入人体后主要攻击T淋巴细胞(简称T细胞),寄宿在T细胞内,完成RNA反转录及复制,当产生新的HV病毒后再将T细胞彻底杀死『产中的*6,故对具有收稿日期:20110924CNMHG作者简介:苏双双(1986-),女,硕士研究生,主要从事常微分方程及其应用研究;王凯(1982-),男,讲师博士,主要从事微分方程在生物传染病、复杂网络的应用研究622北华大学学报(自然科学版)第12卷药物治疗模型的T细胞及HIV的动力学性质进行讨论会对艾滋病的治疗提供很大帮助.在这些模型中,人体免疫系统中其他对HV病毒具有杀伤力的,如CDT细胞也已考虑进去虽然完全杀死HⅣV是不可能的,但华裔科学家何大一发明的鸡尾酒疗法对控制HV病毒携带者体内的病毒数量收到了意想不到的效果HIV病毒在人体内可以达到一平衡状态,且可以局部渐近稳定,但能否全局稳定,我们将进行讨论A S Perelson等7讨论了如下基本模型:d-T-krv1.1)T(1)=kⅣV-δ7,V(t)=NδT’-cV但对系统(1.1)作者忽略了被感染的T细胞的自我繁殖能力HIV的RNA经过反转录,形成DNA.因此,病毒DNA是通过整合到T细胞的DNA中才完成复制8],从这方面来看被感染T细胞应该也是具有自我繁殖能力的但因感染了HⅣV,治疗中有抑制其繁殖的药物,其活跃性要减弱通过以上分析,我们可做如下模型假设1)只有HⅣV病毒可以感染T细胞,被感染的T细胞不能传染健康T细胞;2)T细胞在人体中的数量有最大值;3)基于以上理论及假设,我们可得如下模型7(t)=s-1T+r1T1i(t)=A1rv+r,n(1T+1)-a21(1.2)V(1)=Nu2/-u3V,其中:T,,V分别表示健康T细胞、被感染T细胞和HIV病毒数量;5表示人体淋巴系统产生健康T细胞的速率;Tm是T细胞在人体中含量的最大值;λ是HV病毒感染健康T细胞的速率;l1,u2,3分别表示健康T细胞感染T细胞和HV病毒的死亡率(u10,l(0)>0,V(0)>0(1.3)2解的正性及有界性分析如果没有HIV病毒人侵,健康T细胞的动力系统为T=s-1+T1-可见健康T细胞在T时达到稳定,其中TT4r且7满足(u1-r1)T0下面我们研究模型(1.2)的正性定理2.1在初值条件(1.3)下,系统(1.2)的解都是正的证明反证法因为r(0)>0,假设正性不成立,则存在T(t)=0,其中to=inft|t>0,7(t)=0由系统(1.2)中的第1个等式可知T(4)=s>0.而根据导数的定义可知T()≤0.矛盾.所以T()>0恒成立中国煤化工现在我们证明(t)>0,V(t)>0恒成立若不成立,则存在CNMHG)I(t1)=0,W(t1)>0,且存在t∈(0,l1),有I(l)>0,V(t)>0,P(t1)≤0成立,而由系统(1.2)的第2个等式有6期苏双双,等:HV病理动力学模型分析4)=(4)4)+6(4)(1-(4+()-(4)=7(44)>0,矛盾;i)I(41)>0,v(t1)=0,且存在t∈(0,),有I(t)>0,(t)>0,v(t1)≤0成立,而v(t1)=Nu2(t1)-u3V(1)>0,矛盾;ⅲ)I(t1)>0,(t1)=0,且存在t∈(0,t),有I(t)>0,v(t)>0,而l(t)=0,W(t)=0是系统(1.2)的一个解,且满足初始条件l(t)=0,(t)=0,由解的唯一性,对任意t≥0,有l(t)=0,V(t)=0恒成立,矛盾下面研究解的有界性定理2.2系统(1.2)满足初始条件(1.3)的解有界证明由系统(1.2)的第1个等式得T≤-T+7(1-)所以,如果7(0)<70,那么 lim sup7(t)≤T,对所有t>0成立将系统(1.2)的前两个等式相加得a(r+n=s-a1r+nr(1-T+1+n1(1-x+)-n1/≤r2(T+D)s+r1(T+1)-(T+D)r2(T+nT(n1-u1)(T+1)+s.(2.1)由式(21)可知,存在M1>0,使得T+/≤M1成立,又因为(t),W(t)常正,则存在M2>0,使得同样,由系统(1.2)的第3个等式得那么N+(v(0)(2.2)通过不等式(2.2)可知v(t)恒有正上界(记为M3)3平衡点的存在性系统(1.2)的平衡点满足的方程为A1v-u1T=0,A,TV +2112=03.1)-n3V=0.显然系统(1.2)有无病平衡点E0=(7,0,0).由方程组(3.1)的第3个等式,有将式(3.2)代入式(3.1)的第2个等式得λ1L把式(3.1)的第1个等式改写为A将式(3.2)和式(3.3)代入式(3.4)得中国煤化工(B1+B2V)(B3+B4V)CNMHG或B2B,V+(B,B4+B, B,)V+B,B624北华大学学报(自然科学版式中l2r2lruat+ Tr1(u2-r2)u3TINAl1 TA,Nu2Tma(,-r2)u,+A, Nu2TB(NA,u,Tmas)系统(1.2)有正解当且仅当等式(3.5)有一个正解V使得B1+B2V>0.简单起见,令-(B2B3+B1B)±√(B2B3+B1B)2-4B2B4(B1B3-s)2B.B如果u2>r2,B1B3-5<0等价于s(NAju2Tmax-r2u3)-(u2-r2)u3Tmax (u, -T(NAu2Tngx-r2u3)-(u2-r2)u3Tmar ,>0上述不等式的解为N>N(u2-r2)3r2A,u2To A,u2T(u2-r2)T其中:Nm=A1u2T0(r1T07T2s u,T2分3种情况讨论:情形1.如果N>N_,那么B1>0,B2>0,B4>0,因而B2B4>0,B1B3-5<0,系统(3.5)有一个正解v,B1+B2V,>0,所以T=B1+B2V,=mV,此时V=V,所以系统(1.2)只有一个正平衡点E=(T”,I,V).情形2如果、20,B2>0,B,>0,进而BB4>0.当n10;当r1>u1时,由N≤Nn,有MA1u2mx-r2u3≤所以(ur-T,(NA u2T(u2 -r2)u3Tmax(u-r.)进而(u1-r1)(NA1a27十r;u2(2-1){(-x)La s所以B3>0.故有B1B3+B2B4>0,系统(1.2)无正平衡点情形3.如果0Nm时系统(1.2)只有一正平衡点;当NNa时系统(1.2)只有一正平衡点;当NN-,那么B1B3-s<0,B2>0,B4>0,从而B2B4>0,所以等式(3.5)只有一正根V.,B1+B,v。BB4-B2B+√(BB,-BB1)+4BBs、B1B、-B2B+|B1B1-B,B≥0,所以,系统2B4(1.2)只有一正平衡点E=(T,,V),此时V=Vⅱ)如科C0,B4>0.但B1<0,因为B1B3-<0,所以B3<0,得到两个正根V和V,,但是B1+B2V=B,B,-B,B,+V(B,B4-B2 B,)+4B, B,BB1B4-B2B3+|B1B4-B2B3B,B4-B2 B,+V(B, BA-B2B3)+4B,BA2B≤0,B1+B2V,2B4B,B -B2 B,+B, B 4 -B, B3≥0,所以系统(1.2)只有一正平衡点E’=(T,,V),此时v=Vnuⅲ)如果Nan0,B1>0,B2<0,进而B3>0.当B4>0时,B2B4<0,V<0,v,>0,又B1+B2VBB-B2B+√(BB-B2B)+4BBs、BB-B+|BB1-BB1≥0,所以,系统(1.2)只有一正平衡点E=(T,',V),此时v=V;当B4<0时,B1+B2V=B,BA-B,B,+V(B, B4-B2B3)2+4B, B,s B, B,-B2B,+B,B,-B2B3≤0,B1BeV2B42BBB-BB+√(BA-B2)+4BB.、B-B1+1B1-B.≥0,所以,系统(12)只有2B42B4一正平衡点E*=(T”,,V),此时v=Viv)如果N0,B2<0,B4<0,那么B2B4>0,只有一正根V,但是B1+B, v-B, B4-B, B,+V(B, B4 -B2 B,)2+4B, BAS B,B4-B2B,+ B Bs-B2B3≤0,所以系统2B42B4(1.2)无正平衡点定理31如果NNm,系统(1.2)有无病平衡点E=(70,0,0)和地方病平衡点E=(T”,,V)4平衡点的稳定性分析令E=(行,1,V)为任意平衡点,系统(1.2)在点E的线性化矩阵为2r1T+r27TT入λ1TA,V该矩阵的特征方程为A+Q1T 1, TT-n,vA+Q2-A=中国煤化工N4 +uCNMHG2r, Tr,T+2rI其中:Q1=u1-r1+即北华大学学报(自然科学版)第12卷(A+1-2+2x2)j2+cM+c1-c)=0,(4.1)其中:Co=a2{l1~n2)+(1-)+l3>0,C1=1-r2)T+2r27显然A1=-u,2rT=-(u<0,方程(4.1)的其余特征根依赖于A2+C0A-C1-C2=0.如果N0,只有负根,E局部渐近稳定;如果N>Nm,那么C1-C2<0,E。是鞍点,不稳定因此,得到无病平衡点的局部稳定性结果定理4.1如果NNom,E不稳定.在点E处线性化后系统(1.2)的特征方程为A3+p1A2+P2A+p3=0,其中:rrT/AITV T27)+y(÷+)+(A,V令Q=P2-内=(+r1T”A1Tv,r2IA,T"V+41,Ar4pA1V·」,得到E’的局部稳定性结果定理42当N>Nm时,如果Q>0且7-A1V>0,E局部渐近稳定最后我们用 Dulas准则来判断系统有无周期解及极限环.令B(T,1p)=7,可得a(BT+(BD)+0(Bn)=-s-+2所以,如果a2+u3>r2,则系统(1.2)无周期解定理4.3如果u2+u3>r2,系统(1.2)无周期解,则当NNn时,E·全局渐近稳定参考文献[1] A Perelson, A Neumann, M Markoitz, et al. 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