Quantale矩阵的合成

第20卷第4期模糊系统与数学Vol.20，No. 42006年8月F uzzy Systems and MathematicsAug. , 2006文章编号:1001-7402(2006)04-0028-06Quantale矩阵的合成郭智莲,赵彬(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062)商要:给出Quantale矩阵的几类合成运算,并且讨论了合成运算的-系列好的性质。关键词:Quantale矩阵;Quantale矩阵的合成;幂等Quantale矩阵中图分类号:O153. 1文献标识码:A1引言文[1]提出了格值矩阵的概念,文[2]讨论了格值矩阵的合成。本文讨论了Quantale矩阵间的V-&.型合成,并把格值矩阵A-V型合成和八一→型合成分别推广到Quantale矩阵的&.- V型合成和&.-- >型合成,并且研究了&.- V型和&.-→型合成的性质。2基本概念与性质定义2.153]设Q 是完备格，&.是Q上满足以下两条的二元运算:(1)日a,b,c∈Q, a&.(b&c) = (a&b)&c;(2)V a∈Q, {ba}∈Q, a&.(supb.) = sup(a&b。) 且(supb.)&a = (6.&a)，则称Q是Quantale。定义2.25设Q是Quantale,若V a,b∈Q, a&b= b8a,则称Q是可换Quantale。定义2.358]设Q 是Quantale,若Va∈Q, a&.a =a，即a是幂等的，则称Q是幂等Quantale。定义2.4设Q是Quantale,若V a∈Q, a8.1 =a(1&a =a),这里1是Q中的最大元,则称Q是右边(左边)Quantale。若Va∈Q,a8.1=1&.a=a,则称Q是双边Quantale。设Q是Quantale,Va,b∈Q,把aVb记作a+b,a&b记作ab.设Q是Quantale, V a,b∈Q,令b→a = max{x∈Q:bx≤a} =V {x∈Q:bx≤a} (根据Quantale的定义)。令a- b= min{x∈Q:b+x≥a}，若a- b存在，则称之为b关于a的伪补元。如果Va,b∈Q,.a-b都存在，则称Q为对偶的Brouwerianquantale。由文献[4]知, Q是对偶Brouwerian quantaler当92当个带呈相花TD)。中国煤化工V x∈Q, V {v;}i∈1∈Q,TYHCNMHGx+(Ay;).(CD、)注2.1若Q=[0,1], V a,b∈Q, a&b=a X b,这里的X是数与数间的普通乘法,则。收稿日期:2005-09-06基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471083);教育部“高校青年教师奖”基金资助项目(教人司[2000]26号)作者简介:郭智莲(1980-).女，山西太原人，陕西师范大学数学与信息科学学院研究生，研究方向:格上拓扑学;赵彬(1965-),男，陕西师范大学数学与信息科学学院教授,博士生导师,研究方向:格上拓扑与模糊推理。第4期郭智莲,赵彬:Quantale矩阵的合成291，a≥bb→a=b0，a≤b注2.2 若Q是Quantale并且是完备布尔格。V a,b∈Q,则b→a=V {x∈Q:bxr≤a}且a-b=a A b'，这里b'是b在Q中的补元。设Q是Quantale，令Mmx,(Q)表示Q上的m X n矩阵之集, M,(Q)表示Q上的n阶矩阵之集。VA,B∈Mmx(Q), D∈M,x(Q), R∈M,(Q),定义:C= A+ B台Cjj= a+ b;， i = 1,2,.,m; j = 1,2,..nA≤B台aj≤b，i = 1,2,.,m; j = 1,2..,nC= A'台C;,= aj，i = 1,2,..,n; j = 1,2,..,mC= AD台cqj=ainsdhs， i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,l .C= A。D台cqj= II (aik +dy)，i= 1,2...mn; j= 1.2..,I,= (8;), δ;=10，i≠ji,j = 1,2,..,n(1，i= ;'R°= I。R*+1 = R*R，k = 0,1,2,...R* = (.;()如果Q满足条件(CD1), 定义:C=A- B台cj=a- b;，i= 1,2,..,m; j= 1,2,.,n如果Q是可换的,定义:C= A*Dθcqj=. | | (ds;→a;)， i = 1,2,.,m; j= 1,2,.,l分别称AD、A。D和A* D为Quantale矩阵的V-&.型、&-V型和&.-→型合成。设R∈M,(Q)，如果R°≤R,则称R是传递的;如果R?= R,则称R是幂等的;如果V i∈{1.2...n), ri= 1,则称R是反射的;如果V i,j∈{1,2,..,n}, ri≥rj,则称R是弱反射的;如果V i∈{,..n},r;=0,则称R是非反射的;如果V i∈{,2..n}, ri≤r;,则称R是几乎非反射的;如果RT= R,则称R是对称的。设A∈Mmxn(Q),如果V i,k∈{,..,m}, j∈{1,2...n}, aij=akj,则称A是常值的;如果V i≠j, k≠j, aj=anj,则称A是几乎常值的。V x∈Q，V {y+,ye,.,yn}∈Q,x+([[s)= [[(x+ y)(CD2)引理2.1设Q是满足CD、的可换Quantale中国煤化工(1)a一b≤a;TYHCNMHG.(2)b≤c→a- c≤a- b且b-a≤c- a;(3)a - b= 0θa≤b;(4)a - (b+c)≤(a- c) + (b- c);(5) (a +b) -c= (a-c) + (b- c)。证明易证(1)~(4)。模糊系统与数学2006年(5)c + ((a-c) + (b-c)) = (c+ (a-c)) + (c十(b- c))≥a十b，则(a +b)-c≤(a-c)+(b-c)。由(2)可知，(a+b)-c≥a-c,(a+b)-c≥b-c,从而(a+b)-c≥(a-c) + (b-c)，所以(a +b)-c= (a-c) + (b-c)。引理2.2设 Q是Quantale,a∈Q, i = 1,2..,n, j= 1,2...,m, 则I 2a≥2Ia引理2.3设Q是满足CD、和CD2的Quantale, a,a,.",an∈Q(n≥2),则(1)(a;一a2)十(az一a3)十...十(an-1-an)十an=a1+a2+...+an;(2) (an 一a2)十...十(an-1- an)十(an- a)≥(an+ a2+ ...十an)一(aa...an)。证明(1) 运用数学证明等式当n= 2时，(al-a2) +a:=an+ a2显然成立。假设n=k- 1时等式成立，下面证明当n = k时等式成立。(an-a2) + (a2-a3)+..+(an-1一an)十an=(a一a2)十((a2一as)十.十(an-I一an)十an)=(a]一a2)十(a2十a3十...十an)=((a1-a2)十a2)十(as+...+an)=an+a2+..+an.(2)(a1-a2)+. + (an--an) + (a,-a) + aa..an= II ((an-a2)+ (an-1-an) .+ (an-a)+a;)=II ((a;-a;+) +.. + (a,-a1)+ (a1-a2)+.. + (a,-1-a) +a;)=1T (a;+a;+1+ ... +an+a+a2+ .+a;-1+a)≥an+a2+ ..+an (由CD2得)，所以(a1- a2) + (a2- as) + ... + (an-1-an) + (an- a)≥(a1 +a2+ ... +an)一(a.". an)。3 Quantale矩阵的V - -&型合成设Q是Quantale,A= (a)。∈M,(Q),定义矩阵A的行列式det(A)如下:det(A) = > acau)a20()... ano(n)其中,S。是{1,2...,n}的所有排列之集。定理3.1设Q是可换的幂等Quantale,A∈M,(Q),则(1) det(AAT)≥det(A);(2) det(AB)≥det(A)det(B)。.证明(1)设AAT=P,p;;=>aa;xajk. V σ∈Sn，P11P22**" Pmm= (Eax)(2ax...a. ≥(a(u)2<>.... Ano(n因此det(AAT)≥Pr2.... Pm≥l2a2<**.naon) = det(A)(2)det(AB)= 2( >aba1>>ax....amOea(m) )中国煤化工.TYHCNMHG.≥(apaxk, ... > b.ycnxex*.b.o.>))=2(as(axp, ... det(B))=( 2aran""amn, )det(B)(k,ok,."k.)∈S,第4期郭智莲,赵彬:Quantale矩阵的合成= det(A)det(B)推论3.1设Q是可换的幂等Quantale,A,∈M,(Q),i=1,2,.,m,则det(A1 )det(A)..det(Am)≤det(A+A.-.Am)命题3.1设Q 是Quantale,A∈M,(Q),则A(C+ D)= AC + AD(A + B)C= AC+ BC证明令 A(C+ D)= E, AC+ AD= F,ej= 2aa(Caj+ dk})= 2(ance;+ asd,) =anCnj+ 2and,= f.因此A(C+ D)= AC+ AD.令(A+ B)C=G, AC+ BC= H, g;= .2((ax + bn)cx)= 2(ancn+ bxCn)=aixCk;j+> b;&Ckj= h..因此(A + B)C= AC+ BC.4 Quantale矩阵的&.- V型合成本节给出Quantale矩阵&.-V型合成的一些性质,并由&.-V型合成构造出一个幂等矩阵。定理4.1设Q 是满足CD2的可换Quanatale,A∈Mm(Q)，B∈Mnp(Q), C∈Mw(Q),则(A。B)。C=A。(B。C)证明令 A。B= D, D.C= F, B。C= E, A。E=G,则有din= II (a+ bu), f;=I[(da+ce;)= I(I[(au +bu)+ey)= I II(an+bu +ce),e,= II(bu +un),g=k= 1k-1 1=1k-1 l=1IT(aia+e)=II (a;+ I[(bw+cn)=II(I[(a;+bu +cn)= I IT(an+bu +cn)。从=11=1-1 1-11=1 k-1而f;j= g小.因此(A。B)。C=A。(B。C)。定理4.2设Q是quantale. A∈M,(Q)是对称的和几乎非反射的矩阵,则(1)如果Q是双边的,则A。A≥A;(2)A。A是对称的和几乎非反射的;(3)如果Q是幂等右边quantale,A2是弱反射的。证明(1) 令S=A°A,则s,=II (a;+an;)≥aii+a;j=a,因此A。A≥A.(2)s;= II (a,+an)= I[(an+an)=s,所以S是对称的。sn= l[(a+an)= II an≤l=i=1中国煤化工II (a; + an)= s,,因此S是几乎非反射的。l=1MYHCNMHG(3)令T=A",则t;=>Ja,;an= 2a≥2analj=切，即T= A2是弱反射的。定理4.3设Q是Quantale, A,B∈Mmxn(Q), C∈M,xr(Q)且D∈Mpxm(Q)，则(1) (B。C)T=CT。B";(2)如果A≤B,则D。A≤D°B且A°C≤B。C.32模糊系统与数学2006年证明(1) 令D= (B。C)T ,E=Cr。BT ,d,= I(b,x+cu)= I[(cu + bx)=e;.所以.k-1(B。C)T= CT。B".(2) II (d;n + anj)≤° |I (dli + bx;) ,因此D。A≤D。B.同理可以证明A °C≤B。C.定理4.4设Q是quantale,A∈Mmx.(Q)，则A。AT是几乎非反射和对称的。更进一步，如果A∈M,(Q)是非反射的，则A。AT是非反射的。证明令R=A°A", 则rn= I(an+ai)= IIan≤I(au +an)=r,即R=A°AT是几乎非反射的. r,=II (ai +a;)= [T(a; +an)=r,,因此R=AoAT是对称的。更进一步，因为A是非反射的,所以r;=. |I (a;+a)= I an= a*.*."a,m= 0,故A。AT是非反射的。定理4.5令Q是幂等quantale, A∈M,(Q)是对称的、非反射的矩阵,则R= B。A是幂等且几乎常值的,这里0B=，a;∈Q, i= 1,2,..,n0 ... an)证明由R=B。A可得(0,rij=II (0+ aij)(a;+a)= (|| a;)(a; + a) =I[aua， i=j' i-=12,"i≠i( i≠i则r19)= rirn.(1)当i≠j时，rg"”= rara+rar,+rijr,=0= riy.≠i,j(2)当i= j时,r.2)= >rtrn;+ri;=r;，即R?=R.所以R= B. A是幂等的。由于对于k≠i,j任意i≠j.k≠j,rj=rx=0，所以R是几乎常值的。推论4.1设Q是幂等右边quantale,A∈M,(Q),则(1)(A。AT)2是弱反射的;(2)如果A是非反射的，则Im。(A。AT)是幂等的和几乎常值的。证明由定理 4.2、定理4. 4.定理4.5直接可得。定理4.6设Q是双边quantale, A∈M,(Q) 是非反射的、传递的,则(1)A。A"=0;(2) AT。A= 0。证明(1) 令S=A°A",则s;= II(c中国煤化工a;) =a;ja;≤a; (由A1- 1YHCNMHG的传递性)=0。所以S = 0。(2)类似可证。5 Quantale矩阵的&.-- >型合成定理5.1设Q是可换的双边Quantale,A∈Mmx.(Q)，则A*A"是反射的和传递的。第4期郭智莲,赵彬:Quantale矩阵的合成证明令S=A*A", 则s;= II (a;→ain)。显然s;= T (ain→ax)= 1。所以S是反射的。更进一步，由于a;p(au→aix)(a;k→au) = (an→ain)(a;(aja→aln))≤(an→a;n)au≤ai,所以(an→aix)(ax→an)≤aj→ai.进而ssi= II(ap→aip)I(aa→an)≤I(ax→an)=si，p= Ik=1k-1且S°≤S,即S是传递的。定理5.2设Q是可换的双边Quantale,A∈Mmx.(Q),则(A*AT)A=A.证明令 B=(A*A")A,则b,=2(I (au→a))av≤2aa;= aij，,=11=1则B≤A.另一方面,由5.1知，A*A°=C是反射的,所以b,= 2cinan,=cna1,+ .+.nt,+...十Cinanj≥aw,因此B≥A.参考文献:[1] Give'on Y. Lattice matrices[J]. Information Control , 1964 ,7:477~481.[2] Tan Y J. On compositions of lattice matrices[J]. Fuzzy Sets and Systems ,2002,129:19~28.[3] Rosenthal K I. Quantales and their applications[ M]. Schenectady ,New York :Union College，1990. .[4] Birkhoff G. Lattice theory(3rd edition)[M]. Providence .RI :American Mathematical Society ,1967.The Compositions of Matrices over QuantalesGUO Zhi-lian ,ZHAO Bin(School of Mat hematics and Information Science , Shaanxi Normal University ,Xi'an 710062 ,China)Abstract: In this paper ,we give some kinds of compositions of matrices whose elements belongtoa quantale,and we discuss a sery of good properties of quantale matrix compositions.Key words: Quantale Matrix; The Compositions of Quatale Matrices; Idempotent QuantaleMatrices中国煤化工MYHCNMHG.