非空可测集划分的破碎度量研究

第28卷第1期工程数学学报Vol. 28 No. 1011年02月CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSFeb.2011文章编号:1005-3085(2011)01-0028-09非空可测集划分的破碎度量研究←郭嗣琮(辽宁工程技术大学理学院,辽宁阜新123000摘要:为解决材料科学中物体破碎度量的数学刻画问题,本文将物体的破碎抽象为具有有限测度的可测集合的一个划分,在分析了用碎块测度描述物体的破碎概念应满足的准则的条件下,依照破碎准则构建了一个能够刻画物体破碎程度的划分测度函数,得到了几何物体破碎程度的数学表达式同时,研究了所提岀的破碎度函数的一些性质,并讨论了几个方面的应用.破碎度的数学表述可以广泛地应用于矿物加工、岩石爆破、医药与食品加工等诸多领域.关键词:测度;划分:破碎度;完整度;划分测度函数分类号:AMS(200028E15中图分类号:O143文献标识码:A1引言破碎度的概念被广泛地使用在材料科学,2、爆破科学β,、煤矿安全、地理信息科学和旅游景观评价以及医药、食品加工等诸多领域.然而,至今在数学上对破碎度仍没有一个统一的刻画方式.尽管熵的概念可以描述事物的多样性,但是用来刻画物体的破碎程度还存在不足之处.分形理论S似乎是以“破碎”的几何体为研究背景,但是人们也只是局限于讨论破碎几何体的分形维数⑨.事实上,在工程实际和日常生活中,由于观察对象和研究目的不同,人们对于破碎的理解和描述也不同,因此,破碎度概念本身也难以给出统一的定义.例如,在以粉碎物体为目标的工作中,人们会用被破碎的小碎块测度(如体积,面积、质量、直径)来描述物体被破碎的程度;在某些诸如岩石巷道的支护、公路路面的养护等工程问题中,对象的破碎状况不仅仅取决于小碎块的测度,而且也与断裂的裂隙分布形态有关;在图像处理技术的研究中,图像的破碎程度要取决于图像的多种拓扑性质.从这一方面来看,要从数学上对物体破碎程度作岀刻画,至少要分为测度和形态两个方面来硏究.本文站在用碎块测度描述物体被破碎程度的角度上,给出了破碎概念应满足的准则,并将物体的破碎抽象为可测集合的一个划分,依照破碎准则构建了一个能够刻画破碎程度的划分测度函数为破碎度.本文硏究了所提岀的破碎度函数的性质,同时讨论了几个方面的应用2基于划分的破碎度与划分测度函数设(X,5,m)是一个有限测度空间,其中X是具有有限测度的非空集,为X所有子集构成的a代数,m是上的测度,称A1,A2,…,An是X的一个n划分,若每个A∈,且对任何i≠j,有A1∩A=重(空集),∪A2=X,记A={41,A2,…,An}.A1称为A的一个划分单元,i=1收稿日期:2008-08-04.作者简介:郭嗣琮(1951年10月生),男,教授,研究方向:模糊信息处理技术与软计算*基金项目:辽宁省教育厅高等学校科研项日(20060377郭嗣琮:非空可测集划分的破碎度量研究又设B={B1,B2,…,Bm}是X的一个m划分,m>n且对于任何i=1,2,…,m,B1要么是n划分A的一个单元,要么是某个Ak(k=1,2,…,n)的划分单元,则称B是A的细分.例如,设A={A1,A2,A3},B={A1,A2,B1,B2},其中B1∩B2=重,B1UB2=A3则B是A的细分用C(X)表示非空可测集X的所有划分的全体,显然,X∈C(X)定义21设A,B∈C(X),如果B是A的细分,称B细于A,记B2.2Px(A∑P(A1)由定义2.3,X在划分B下的完整度为PX(Ai),即为在划分A下的完整度的二分之综上分析,我们给出一个可以表述可测集X划分破碎度的数学表达式定义24设A={A1,A2,…,An}是具有有限测度的非空可测集X的一个划分,划分A的单元A关于X的相对测度为Px(A1),i=1,2,定义F(X;A)=∑Pk(4)[1-Px(A4=1-∑P(A为X在划分A下的破碎度,并称P为X在划分A下的完整度对于X的一个无限划分A={A1,A2,…,An,…},则定义Fr(X; A)=13破碎度的性质定理31对于具有有限测度的非空可测集X的一个n划分A={A1,A2,…,An当m(A1)=m(A2)=…=m(An)时,Fr(x;A)达到最大证明由于m(A1)=m(A2)=…=m(An),意味着Px(A1)=Px(A2)=…=Px(An)1/n.记Px(A1)=x,i=1,2,…,n,则式(4)可写成7(X;A)=1-∑32工程数学学报第28卷1,x;≥0,由拉格朗日乘数法,可得到当r1=x2rn=1/n时,Fr(X;A)取最大值,故定理3.1成立定理3.1说明,将一个物体打破成n块,如果n一旦被确定,则每个子块测度均等时,物体的破碎度最大.此时,有F(X;A)=1-∑P当n→∞时,Fr(X;A)=(n-1)/mn→1,这说明只有当物体被均匀分解为无限多的测度趋于无穷小的单元时,破碎度趋于1,这一结论与我们对破碎性的理解是一致的.定理32设A={A1,A2,…,An}是X的一个划分,且B1={B1,B12,…,B1k1},B2{B21,B2,…:,B2k2},…,Bn={Bn1,Bn2,…,Bnkn}分别是对A1,A2,…,An的划分,则B={B1,B12,…,B1k1,B21,B2,…,B2kBnkny是A的一个细分,有F7(X;B)=1-∑∑PA(B21)P(A1)(7)其中PA、(B)=mBA为B关于A的相对测度明由式(4),有F(X;B)=1-∑∑P(B1其中Px(By)是B关于X的相对测度.由于B1≌A,于是Px(B,)=m(B)=m(B). m(A) =PA(B). Px(A,代入式(8),则定理32成立在定理32中,B2={B1,B2,…,B}是集合A的一个划分,显然∑P,(B)是集合A1在划分B下的完整度,故记PA (Bii)= Fr(Ai; Bi),于是,式(7)可以写成Pr(A;B)·P(A1)定理32的结论也可以推广到对X的一个无限划分情形中去,此处不赘述定理33设A={A1,A2,…,An}是X的一个划分,B={B1,B2,……,Bm}是Y的一个划分,X和Y是两个互不相交的非空可测集,定义AUB={A1,A2,…,An,B1,B2,…,Bm}郭嗣琮:非空可测集划分的破碎度量研究为XUY的一个划分,并记PxUr(X)=m(X)(Y)n(Xur)(XUY则Fr(XUY: AUB)=1-[Fr(X; A). P(XIXUY)+Fr(Y: B). PXUr(Y). (10)证明记Pxuy(A1)和Pxuy(B)分别为A;和B,关于XUY的相对测度,并n,j=1,2,…,m.由式(5),有Pr(XUY;AUB)=∑Py(A)+∑Py(B1)而PxUY(Ai)m(A) m(Ai) m(X)=Px(A:). Pxur(Xm(XUr) m(X)m(XUy类似地,可得到Pxur (B,)=Px(B,). Pxur(Y),代入式(11),得到P(XUY;AUB)=∑P(A)P(X)+∑PB)Py()=Fr(X;A)·Pu(X)+Fr(Y;B)·Puy(Y)于是Fr(XUr: AUB)=1-[Fr(X; A). P2(XIXUY)+Fr(Y; B). PXUY(Y)两个划分A,B的并运算A∪B的背景是将两个破碎的几何体并在一起,则Fr(XUY;AUB)表示合并后的几何体的破碎程度.只要稍加注意即可看出,定理33是式(9)的特例,只是两者的解释不同由Fr(X;A)=1-Fr(X;A),Fr(Y;B)=1-Fr(Y;B),代入式(10),得到Fr(XUY: AUB)=1-[(1-Fr(X: A)). PXur(X)+(1-Fr(Y; B). PXUr(Y)1-PXuY(X)-PXur r)+ Fr(X; A). PXuY(x)+Fr(Y; B). PXuy(y)记M={X,Y},由于X和y互不相交,则M是可测集XUY的一个划分,由式(6)集合xUY在划分M下的破碎度为Fr(XUY;MD=1-By(X)-BRy(y),于是方Fr(XUY; AUB)=Fr(XUY; M)+Fr(X; A). PXUx(X)+Fr(Y; B). PXUx(y).(12)有时我们仅仅关心一个几何体的破碎程度,而对其划分形式不感兴趣.此时,为了表述上的方便,在不至于引起混淆的情况下,具有有限测度的可测集Ⅹ(在某个划分下)的破碎度可以简记为Fr(X;*).由式(12),我们不难得到如下推论学报推论31设A={A1,A2,……,An}是X的一个划分,且A1在某个划分下的破碎度为Fr(A;*),其中=1,2,…,n,则X的破碎度为Fr(X;*)=Fr(X;A)+∑F(A4;*)·P(A1)A1和B分别是X和Y的子集,AxB1={(x,y)x∈X,y∈Y}.设A={A1,A2是X的一个划分,B={B1,B2,…,Bm}是Y的一个划分,则定义笛卡尔乘积集X×Y上的划分如下A×B={A1×B31A1∈A,B1∈B,i=1,2,…,m;j=1,2,…,m}定理34A和B分别是X和Y的划分,则划分A×B下X×Y的破碎度为Fr(XxY; Ax B)= Fr(X; A)+Fr(Y: B)-Fr(X; A). Fr(Y: B)证明记Px(A2),By(B)分别为A1关于X的相对测度和B关于Y的相对测度,i1,2,…,m;j=1,2,…,m,则A×B关于X×Y的相对测度为Px(A1)·By(B).于是F(XxY;A×B)=1-∑∑[Px(A),By(B=1-∑B(A∑P(B)=1-F7(x;A),Fr(Y;B[1-Fr(X;A)]·[1-Fr(Y;B)1-[1-Fr(X; A)-Fr(Y; B)+Fr(X; A). Fr(Y; B)Fr(X; A)+Fr(Y; B)-Fr(X; A). Fr(Y; B)4破碎度概念的应用4.1工程中岩体破碎度的估计在许多工程实际中破碎度是个重要的指标,如在某些岩石爆破中通过对岩石的破碎情况来检验爆破旳效果,在煤巷掘进中通过对钻孔煤屑的破碎程度检验来预测煤与瓦斯突岀的危险程度,等等.但是,无论是岩石爆破还是煤岩的钻探,破碎体常常是由成千上万个小的碎块(单元)组成,为了描述其破碎程度,需要对这成千上万个单元逐一进行测量是根本无法做到的,为此,我们给出一种破碎度近似计算方法设M为破碎物体的所有碎块(单元)的集合,我们可将M中碎块按照某种测度(如体积,直径或重量)的大小分成n个等级区间xo,x1,(x1,x2],…,(xn-1,xn],其中xo和xn分别为所有碎块测度的最小值和最大值,且x0