热方程的非古典势对称群与不变解

应用数学和力学第27卷第2期2006年2月)应用数学和力学编委会编Applied Mathematics and Mechanics文章编号:1000-0887200602-0217-06热方程的非古典势对称群与不变解秦茂昌2,梅凤翔,许学军(1.重庆工商大学理学院重庆4000672.北京理工大学理学院北京100081)(胡更开推荐)摘要:主要研究了热方程与波方程的非古典势对称群生成元及相应的群不变解研究表明对于守恒形式的偏微分方程,可通过其伴随系统求得的非古典势对称群生成元来构造其显式解这些显式解不能由方程本身的Lie对称群生成元或Lie- Backlund对称群生成元构造得到关键词:非古典势对称群生成元;热方程;波方程;显式解中图分类号:0152.5175.2文献标识码:A引言在微分方程特别是对偏微分方程而言舶的约化及显式解的构造的各种方法中,对称群方法是一种非常重要且应用广泛的方法文献1~4论述的经典Iie对称群方法,可用来构造偏微分方程的显式解并对方程本身进行约化偏微分方程旳经典对称群通常是指定义在自变量及函数空间上将方程的解变为其它解的无限小连续变换同时将利用对称群方法构造得到的解称为方程的群不变解Bluman和Cole在文献56中用一种新方法得到了守恒型偏微分方程的一种新的非局部对称这种对称既不是给定方程的Lie点对称也不是其Lie- Backlund对称这种对称被称为偏微分方程的势对称〔古典势对称)一般而言由于偏微分方程的势对称确定方程比它的Lie对称群确定方程要少所以要找岀其所有的对称是非常困难的但同时也产生了找到新的对称及群不变解的可能性正因为如此这种对称引起了广大研究者的兴趣最近,古典势对称被进一步发展推广到了非古典势对称文献7]得到了波方程的几个非古典势对称群生成元及其群不变解文献8琍利用 Burgers方程的非古典势对称群生成元构造得到了新的显式解关于守恒型偏微分方程的非古典势对称群生成元的寻找及其相应群不变解的构造还有大量的工作要做在本文的第1节我们将给出一种求偏微分方程非古典势对称群生成元的方法萬第2节则以热方程及波方程为例说明方程非古典势对称群生成元的求法及其群不变解的构造中国煤化工CNMHG收稿日期:2004-03-19;修订日期:2005-10-30基金项目:国家自然科学基金资助项目(10272021)作者简介:秦茂昌(1971—)男云南永胜人博土(联系人.Tel:+86-23-609941796;7110037@sina.com.cn217秦茂昌梅凤翔许学军寻找对称的方法考察阶数m≥2的如下守恒形式的偏微分方程D(f(y,a,u(1),l(2)r…,(m-1))=0,式中自变量y=(x1x2灬xn)为函数,(j=12灬m-1)表示第j次偏导数的全体例如u(1)={u1,2…,un},a(2)={u1,a12…,m}灬(具体以x1=t和x2=x为自变量来说,(1)={u4,x3,(2)={un,ua,lx3,(3)={um, btex illex,umx})同时定义算子Dl12因为方程组1湜是守恒形式所以存在n(n-1)2个函数y构成一个反对称张量(i