泰勒公式的应用

考试周刊2013年第105期球与泰勒公式的应用程翀(邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422000摘要:泰勒公式在数学中有众多应用本文论述了泰勒3泰勒公式在求极限中的应用公式在近似计算、求解函数的极限等方面的应用用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高关键词:泰勒公式近似计算极限阶的无穷小,尤其是型极限的求解此时只需把分子、分母1泰勒公式展开到同阶的无穷小即可定理1:设函数f(x)在点x的某个邻域内具有直到阶n+1的导数则对该邻域内异于x的任意点x有(x)=(x)+(x)(x-x)例2:求极限lmx sInxX一X。)+·x,)+R(x)x-+0(x)+0(x)其中R(x)(x-x)”(介于x与x之间)时,称为例3:求极限lmx-xM15)6(n+1)!带拉格朗日型余项的n阶泰勒公式,其中(R(x)=0(x-x0))时,称为带皮亚诺( Peano)余项的n阶泰勒公式2泰勒公式在近似计算中的应用解:m(x-xn(1+1)=imx2(1-11+(1)=用泰勒公式进行近似计算的实质是按照精度要求忽略掉小于精度的误差例1:计算hn12的值,使误差不超过0.0001在解决有些问题时将泰勒公式与我们已熟知的等价无穷解:令(x)n(1+),由r(x)=1-,…,r"(x2(-1)“(m-小方法相结合可将问题进一步简化得例4:求极限lmianx一X(1+x)x(arcsinxf(0)=0,f(0)=1,…,f(0)=(-1)(m-1)!,f"()=(-1X++0(x)-x-+o(X)解:imtanx一Xn!(1+5)于是f(x)=ln(1+x)在原点的泰勒展开式为in(1+x)=x-G9(外于(+3mm0-3一出吗2+3+…+(-1)”x+(-1)x通过上面的几个例子,可以看出利用泰勒公式求解某些0与x之间)函数的极限简洁、方便,从而准确、高效地解决一些数学问所以ln(12)=0.20.220.23+…+(-1)~10.2参考文献(-1)02(介于0与0.2之间)[1]同济大学数学系高等数学(第五版)[M]北京:高等(n+1)(1+)教育出版社,2001139-145且R(02)=(02)[2]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M]北京:高<(0.2)=00000405<02)等教育出版社,2002.(n+)(1+)°[3]南京大学数学系,数学分析习题全解[M]合肥:安徽因此lnl2≈0.2-002+0.00267000040+0.00006-0.1823人民出版社,1999中国煤化工CNMHG55