基于CVaR的投资组合优化

第8卷第16期 2008年8月科学技术与工程VoL8 No. 16 Aug 20081671-1819(2008) 16-4761-03Science Technology and EngineeringC 2008 Sei. Tech. Engng管理科学基于CVaR的投资组合优化段琪何春雄*(华南理工大学理学院,广州510640)摘要由VaR模型的非一致性风险度量缺点引出CVaR模型,分析了CVaR的计算方法,并利用遗传算法对我国股票的实际数据求出了投资组合的最优解。关键词条件风险价值投资组合优化遣传算法中图法分类号F224.9;文献标志码AVaR( Value at-Risk) ,即风险价值,是一种标准统计技术,用来估计金融风险的方法"。尽管VaR1 CVaR 的计算方法在金融风险领域非常流行,但是经过很多学者的不断探索和实践证明(2] , VaR无论在理论上还是在应CVaR是指在给定期限和置信度下,某一资产用上都存在一定的缺陷，如VaR不满足次可加性组合面临的超过VaR的平均损失。其数学表达式为:φ(X+ Y)≤φ(X) +φ(Y)。CVaR。(x) = E[Jf(x,5)1f(x,5) ≥VaR.(x)]。所以,不是- -致性风险度量。VaR 不- -定满足其中f(x,5)为价格状态为ξ ,投资组合为x下的损凸性;VaR只依赖于单一的损失函数的分位数。虽失,其中x = (x.,2..x.) C X ,X为投资组合的可能以较大概率保证损失不超过VaR,但不能表明损失一旦超过VaR这种极端情况发生时的潜在损失行集,且XCR" ,ξ = (5 5**.为市场价格向量或市场因子,它的密度函数为Pt。假定Pe是连续的大小。为了克服VaR的不足,Rockafeller和Uryasev3]的.当ξ的分布已知时,f(x,5)是-一个依赖于x的随提出了条件风险价值CVaR的风险计量技术, CVaR机变量,它不超过临界值a的概率由下式确定:考虑的是大于VaR的极端损失的平均值,它表达了ψ(x,a)= p(r)dy,a∈ R。当资产损失超过VaR值时其损失究竟是多少的问ψ(x,a)为累积分布函数,它关于a单增连续题。从数学意义上讲,它是一个条件期望值,较VaR的函数.以ag(x)表示投资组合x的VaR值[4] ,即更能体现资产组合所面临的真正风险,且CVaR是ag(x) = min{a∈R;ψ(x,a)≥1 -β};-致性风险度量方法;被学术界认为是一-种比VaR令q(x) =(1-β) > . f(x,y)p(y)dy。风险计量技术更为合理有效的现代风险管理方法。其中p(x)表示资产损益不小于ag(x)时的期望损失值CVaR,其中β为置信水平。2008年4月28日收到国家 自然科学基金项目(70571024)资助CVaR的计算不需要事先假定分布形态,在任第-一作者简介:段琪,女,硕士研究生 .研究方向:随机分析与金意情况下其计算都可涌讨模拟法来实现。融工程。Email:duanqj821@ 163. com。中国煤化工●通信作者简介:何春雄,男,博士,教授,研究方向:随机分析与金MH.CNMHG融工程。Email:machxhe@ 8ecut. edu. cn。prL,u7-471- g*ilU\o,f) -a]'},其中4762科学技术与工程8卷a*= max{0,a} . 计算CVaR的关键在于函数Fp(x,行投资组合优化。选择了陆家嘴、深发展、青岛啤a). Fp(x,a)具有如下性质+:酒、申能股份、深康佳、友谊股份这6支股票。由于minCVaRg(x) =.. min. Fp(x,a) 。从1996年12月16日开始我国实施T+1交易,并如果损失函数f(x,y)为凸函数,可行集X是凸且有涨跌停板限制。这种政策的改变对最终的结集,则上式就是凸规划的最优化问题,最小化CVaR果产生的影响比较大,数据选择了1996年12月可转化为解决凸优化问题5:16日之后截止到2007年12月28日2550个数据。。 min Fp(x,a)。这里,选择的目标时段为1 d ,因此考察每只股票对因此，基于CVaR的投资组合必定存在最优解。应的日收益率,根据股票的历史价格,计算其几何由于市场因子ξ的分布一-般是未知的,在这种情况下,只能根据历史数据或情景模拟数据来刻画收益率ry = lIn;P里,同时置信水平分别选择90% ,Pij-I它们的经验分布,再根据经验分布测算其风险量95%与99%。值。因此, F(x,a)可以用情景分析法(模拟法)来尽管VaR、CVaR的度量为货币单位,但是为了近似,在本文中运用历史数据进行计算,取m个历叙述方便本文中仍将收益、损失、VaR、CVaR等统统史数据y;,j =1,2,.. m,则Fp(x,a)可近似表.折算为初始价值的百分比来考虑,因为货币单位与示为:百分比之间存在着一对应的线性关系.P(x,a) =a+π-8m SU(*.y) -a]'。第一步:初始化群体从上式可以看出,如果f(x,y)是关于x的线性函.设定种群规模N =50,最大进化代数maxgen数,那么函数Fp(x ,a)是凸的而且是分段线性的。=50，代沟Gap =0. 9,采用浮点编码方式,随机生成50个染色体Z = (xX,.,,Xx) ,其中每个染色体用X = (:2,1,,,,.)表示,其中s =7。2求解CVaR模型的遗传算法第二步:适应度的计算和评估初始群体的特性对计算结果和计算效率均有适应度函数为:重要影响。针对基于CVaR模型的投资组合优化问φ(X,a) =a+(1-B)mδ [[f(X,y)-a]*。题的特点,采用浮点编码,定义染色体的长度与该其中X = (x,*,.,x.)。模型变量的个数相同,随机生成染色体个体X =(x,",x.) ,其中每个基因xE [0,a],a∈[O,第三步:遗传操作及产生下一代依据适应度的大小,先将有效解集中最大的适1] ,并且要求2x=1。应度值对应的个体赋值给中间变量,精英保留策略就是在算法的迭代过程中,从上然后将随机选中的双亲按照概率p。进行交叉一代保留最优解至下一带的过程。操作,产生新的个体.其中p。=0.8。接着再以一定遗传算法要求进化过程中保持群体规模不变,的概率Pm选取种群中若干个体进行变异,其中Pm但为了防止早熟收敛,在进化过程中引人移民机=一=0.14。将交叉、变异操作后的子代种群和父制,对群体中的个体进行调整。所谓移民机制就是在每一代进化过程中以- -定的淘汰率将最差个体代种群分别计算适应值并按照适应值大小分别进淘汰,然后用产生的新个体代替。行排序,将子代种群中前50%的个体代替父代种群中后50%的个体，重组后产生新的种群,对新产生3 CVaR 模型在投资组合中的应用的种|中国煤化工计算适应值并排序,YHCNMHG新种群中最差的.选取了深沪两市中的6只股票应CVaR模型进NCap个个体。16期段琪,等:基于 CVaR的投资组合优化4763第四步:收敛准则有其优越性,它具有次可加性,而且是凸的,用CVaR以最大进化代数maxgen为收敛准则,如果进化度量风险在计算上相对简单,而且在投资组合优化代数达到maxgen ,中止收敛输出最优个体及优化求解过程还可以顺便得到投资组合的VaR。基于函数值,否则进化代数加1,返回第二步。CVaR模型进行了投资组合优化,分析了投资组合.用matlab软件执行遗传算法流程[5],得到近似优化的计算过程。最优解,如表1。由于遗传算法提供了一种求解复杂系统优化问题的通用框架,它不依赖于具体问题的领域,而表1近似最优解且函数优化是遗传算法的经典应用领域,这里采用VaRCVaR了遗传算法对中国的股票投资组合进行了实证b=0.90[ 0.1420， 0.1034， 0.0955,0.01550.0198研究。.0. 1515, 0. 1710, 0. 3366]b=0.95[ 0.0492， 0.2664， 0. 1403,0.0263O.0290参考文献0. 0461, 0. 2655, 0. 2326]b=0.99 .. [ 0.2824， 0.0667， 0.2627,0. 04670.04831菲利普,乔 瑞. 风险价值VaR.二北京:中信出版社,20050. 0855, 0. 0644, 0. 2383]2王春蜂.金融市场风险管理-VaR方法.天津:天津大学出版社,004结论3 Rokaellr R T, Uyasev s. ptimization of Conditional Value-at-Risk. The Joumal of Risk ,20004陈剑利,李胜宏. CVaR风险度量模型在投资组合中的运用.运筹由于VaR的非一-致性风险度量和计算结果差与管理,2004, 13(1):95- 99异大等缺点,理论界提出了改进的方法CVaR模型.5雷英杰,张善文,李续武,等. malab遗传算法工具箱及应用.西作为在CVaR基础上改进的一种风险度量方法,安:西安电子科技大学出版社.2005CVaR和VaR虽然非常相似,但是CVaR与VaR相比Portfolio Optimization Based on CVaR ModelDUAN Qi, HE Chun xiong(College of Science, South China Univensity of Technology , Guanghou 510640 P. R China)[ Abstract] Because of the disadvantage of the VaR model, is introduced the CVaR model and analyzed The cal-culation method of CVaR, and used the genetic algorithm to solve the optimal solution of portfolio in Chinese stockmarket.. Key words] CVaRporfoliogenetic algorithm中国煤化工MYHCNMHG