导数应用的补充

第21卷第2期景德镇高专学报Vol. 21 No. 22006年6月Journal of Jingdezhen CollegeJun.2006导数应用的补充刘琍内江医科学校数学教研室四川内江641003)摘要:本文将导数和初等数学的某些问题联系起来进行探讨,扩大了导数的应用范围,以期对拓宽学生的知识提高他们学习数学的积极性和创造能力等方面有所帮助关键词:导数;导数应用;初等数学中图分类号:O172.1文献标识码:B文章编号:1008-8458(2006)02-0026-02现行高职教材中一般只介绍导数的四种应用:有关曲线的切线问题;函数的增、諴性;极大(小)值;近似计算。如果1.2通过证明欲求的恒等式两边的导数相等能将导数与初等数学中有关的内容有机地联系起来,这将能由拉格朗日中值定理知:如果f(x)在区间(a,b)内可帮助学生拓宽知识面,使某些复杂的问题简单化,提高学生导,旦恒有f(x)=0,那么,f(x)在(a,b)内是常数进一步学习数学的积极性,提高综合运用和灵活运用数学知识的能可推出:如果函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内可导,并且恒力.从而提高学生的创造能力。鉴此想法,本人在导数的应有f(x)=g'(x),那么在(a,b)内恒有f(x)=g(x)+C(其用中补充下面内容中C是常数)。因此,利用这些结论可证明许多恒等式1证明恒等式例2:求证 arcsIn.?+ arc cos. r(|x|≤1)如果函数f(x)和g(x)在区间(a,b内可导,并且在(a,1-=01时,(0 sInT+ arccos.T)=1.1利用已知恒等式两边求导数证明:因为当|xb)内恒有f(x)=g(n),那么在()内恒有f(m)=k()即:若两个函数恒等,则它们的导数一定恒等。利用此性质所以当|x|<1 arc sinT+ arc cos.=C.取x=0,有C证明恒等式时,先找出与所要证明的恒等式有关的已知的函arc2数恒等式,然后通过两边求导数,从而证明这个恒等式成立例1:求证(1)C1+2C2+…+nC=n·21且当x=1时: arcsin1+ arccos1=时1)nCn=0(n≥2arcsin(-1)+arc cos(-1)(3)2·1·Cn+3·2·Cn+…+n(n-1)Cm=n(n-1)2m2证明门1):根据二项式定理得:(1+x)=1+Cx+C2x2此证法的基本步骤是:a}分别求出所要证明的恒等式两边的导数;(b证明这两个导数相等,由此得出所要证明的恒两边求导得:n(1+x)1=C+2Cnx+…+nCmx等式两边相差一个常数;c求出这个常数,证得恒等式成立。令x=1,即得:C"+2(2+…+Cm=n·212证明不等式2):在(a)式中令x=-1,即得:Cn-22.1直接应用拉格朗日中值定理1);Cn=0拉格朗日中值定理:如果f(x)在闭区间[a,b]上连续3):对a)式两边求导数得:n(n-1)(1+x)“2=2.1在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点:,使得Cn+3·2·Cnx+…+n(n-1)Cwxm令x=1,得:2·1·C+3·2.C…+n(n-1)C=n(nf()TYH中国煤化工b由此定理可以挂出有CNMHG①收稿日期:2006-03-20作者简介:刘琍(1962-),女,四川内江,讲师。研究方向:基础数学。006第2期刘琍:导数应用的补充关f()的不等式,从而得到有关(b)=(4a)的不等式故:sinA+sinB+sinC≤例3:已知1,求证应用此性质还可以证明很多重要的不等式,在此不举例证明:设f(x)=x"(n>1),则f(x)在[a,b]上连续,在a,b)内可导,根据拉格朗日中值定理可知在(a,b内至少3方程根的讨论有一点使得f()元方程f(x)=a(a为常数)的讨论,常可用对函数y=f(x)求导来鉴别它的增、减性,从而便于考察曲线y()=n,从而得ne"1=b二f(x)与直线y=a图象交点的状况,以确定根的虚、实范围又因a<1,所以am1<1<和个数故:m"1(b-a)0,所间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,如果在(a,b)内f(x)>0,那么f(x)在[a,b上是增函数;如果在(a,b)内以f(x)为增函数,且又是连续函数,又因为f(0)=-2<0,f(1)=1>0f(x)<0,那么f(x)在[a,b上是减函数。可见曲线y=f(x)的图象与y=0(x轴)必有且仅有例4:如果x>1,求证x>x+1个交点,即方程x3-x2+3x-2=0仅有一个实根证明:设(x)=x2-x-1+1(x>1),则f(x)4形如∑n”的数列求和3x2-1+由(x")=n·x"得∑"1=(∑x")’,这样可求形由已知x>1,得:3x2-1>3-1=2从而f(x)>2如∑nx"1的数列求和1>0,即在x>1时,f(x)为增函数,这时恒有f(x)>例7:求和S=1+2x+3x2+…+nx1f(1)=0,从而证得:x>x+1-1(x>1)+x=x(1-x°)2.3应用凸函数的性质凸函数的性质:如果函数f(x)在区间(a,b)内是下凸所以S=S1的,那么对于区间(a,b)内任意一组点x1,x2,…,xn,有下列不等式f(x1)+f(x2)+…+f(xn)般地形如∑(m+q)x"(p,q为常数,∈N)的数如果函数f(x)在区间(a,b)内是上凸的,那么对于区间列都可解决(a,b)内任意一组点x1,x2,…,xn,有下列不等式∑(m+q)x=[∑p(n+1)x2+(p-q)x]+)≥1(n)+(x)+“+f(x2xm)2+(q-p)∑xxn时,等号成立参考文献1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)M].北京高等教育出例5:在△ABC中,求证sm4+sinB+snC≤2版社,2001证明:设f(x)=sinx,x∈(0,),则f(x)=-sinx[2]邓俊谦.教育部高职高专规划教材——应用数学基础(中册)从而在区间(0,π)内,f(x)≤0,则在区间(0,)内,[M].上海:华东师范大学出版社,200f(x)是上凸的3]孙建明.导数应用新解读[J].上海:数学通讯,2005.17:因在△ABC中,0