机构中的碰撞动力学

第15卷北京印刷学院学报2007年12月Vol 15 No 6Journal of Beijing Institute of graphic CommunicationDec.2007机构中的碰撞动力学赵振(北京印刷学院,北京102600)摘要:多点碰撞问題一直是多刚体动力学的难题之一。性等诸多问题。把 Keller方法拓展到多点碰撞问题上,通过给定局部的力第二类采用速度的跳断规律来解决碰撞问题。位移模式,获得壁撞法向冲量的增量比,而这一比值与局每一个碰撞和冲击的发生都是由于系统非协调状,部累计能量相联系。干是这一方法从本质上揭示出壁撞态导致的剧烈的相互作用,通过跳断规律的引入,过程是一个能量的交换和传递的过程。避免了对剧烈相互作用引起的复杂的动力学行为关键词;多点碰撞;摩擦;冲量中图分类号:TS113文献标识码:A的精细处理。 Newton恢复系数就是采用这文章编号:1004-8626(2007)06-003503方法解决两质点的碰撞问题,后来 Whitaker把Newton的这种方法发展到含摩擦碰撞问题上Multi-Impact Dynamics in MechanismKane在应用这种方法到多同体系统时,遇到了碰ZHAO Zhen撞后系统的动能比碰撞前系统的动能增加的Beijing Institute of Graphic Communication“Kane动力学之谜”1。后来 Stronge2直接定义Beijing 102600, China)能量恢复系数,以反映局部碰撞过程的能量收放Abstract: Multi-impact is one of the more difficult problems特征。 Keller利用近似冲击动力学方程来反映A method for multi-impactpresent on the basis of Keller's impact equations. The rela空间两刚体碰撞过程的复杂微运动形式。我们把tionship between the increment ratios of normal impulses ofKelr的方法发展到多刚体的单点碰撞问题上different impact points and the local accumulative energy is最近,在单点碰撞的基础上,我们又给出了多点碰discovered if the contact force-displacement mode is given.撞问题的解决办法。The method indicates that impact is a process for energyexchange and transfer in nature.学术界曾经想把多点碰撞问题分解为两点碰撞Key words: mul问题,但同时发现不同的碰撞序列获得不同的跳断规律,而实际机构的碰撞结果往往是稳定的。机构的动力学仿真是机械设计和制造领域发 Ceanga V和 Hurmuzlu y把球链的碰撞分解为3展的内在要求。而碰撞和冲击的存在又使得仿真个球的碰撞问题,认为碰撞传递过程中,相邻3个球工作变得困难。怎样建立起高效而且经济的碰撞的冲量比为常数,然后以3个球为单位,延伸到多个动力学模型,从而迅速地把握机构的整体动力学行球的碰撞。把多点碰撞问题分解为单点和两点问题为,成为机构仿真问题的重要课题。从目前学术界很大程度上存在着过多的人为假定。影响实际机构的发展水平来看,解决碰撞问题分成两大类别的多点碰撞结果的因素很多,例如碰撞点的分布,各第一类采用局部的柔化模型来解决碰撞和接个碰撞点的相对速度,碰撞点的接触刚度比以及碰触问題。局部模型可以采用局部的数学模型,也可撞时机构的整体构型等。这些因素相互映影响,很以采用局部的有限元模型。局部柔化模型的应用难分解成独立的两点或者三点碰撞表明,采用怎样的接触刚度对机构运动影响很大系统中碰撞与非碰撞、接触与非接触等不同尺度的1多点碰撞动力学运动形式并存的现象,需要多尺度的计算技巧,而V凵中国煤化工碰撞问题时利用多尺度计算本身存在着计算结果的收敛性和稳定系统CNMHG广义冲量贡献的假设条件,把碰撞问题转化为冲量空间的一阶微分基金项目北京市教委科技发展面上项目(KM600150程问题。北京自然科学基金资助项目(1062007这里,我们仍然利用这两个假设条件,给出碰北京印刷学院年撞动力学微分方程们的增量之间存在一种比值关系。我们利用冲击模型来导出这种关系。a;d4=>(W%., dPN ;+wi. dPi.j)1.1法向冲量之间的增量比=1,2,…,n(1)这里,我们引人碰撞的法向局部模型利用Klr的冲量方法处理冲击问题时,把Ay=K(6,(q,t)?j=1,2,……,s(2)冲击过程看作广义速度随法向冲量变化的过程。其中j代表第j个接触点∷λN,为法向接触力;对于单点碰撞问题,法向冲量只有一个,把它视为K,为接触刚度;(q)为局部刺穿深度,它是系统位自变量然后对碰撞过程积分,可以获得碰撞后的形q的函数;是幂系数,对于 Hertz接触,n=3/2状态速度。所以对于单点碰撞问题,相对容易处通过计算,可以获得不同接触点,点和l点之理。但是对于多点同时碰撞,法向冲量有多个,它间法向冲量增量的分配比为K,六“∑(+9)P+(1+2k(3)dPq,tat(l+nKi在没有预压力或者预压力可以忽略不计的情其中e灬,表示第j对接触点的 Stronge能量恢况下(一般都可以忽略:预压力有限,K,都很大),复系数。W为碰撞恢复阶段接触力所做的功,为Ax,(0)=0,(3)可得:负值;W。为压缩阶段接触力所做的功,为正值。t为压缩最大点时刻,可以利用相对速度由正变为负的条件来判断。t为碰撞结束点,利用恢复系数20)dP4:+ate,来判断。在碰撞过程中,如果某一对碰撞点在恢复阶所做的功满足(6),我们就可以认为这一点的碰撞公式(3)或者(4)就提供了(s-1)个独立的结束了。如果所有点的碰撞都结束了,整个多点碰方程撞过程也就结束了12切向冲量与法向冲量之间的 Coulomb摩擦定律2平面圆盘的两点碰撞(见图1)我们假设库仑摩擦定律是成立的dP,=-psgn(+)dP,计≠0≤H,dPNift;≡0其中,是接触点的切向相对速度。通过式(5),就可以消去(1-4)中的dP1.3 Stronge的能量恢复系数公式(1),(5)再加上(3)(或者(4)只是提供了碰撞过程中的控制方程,但是我们并不知道碰撞什图1平面圆盘么时间结束。 Stronge的能量恢复系数提供某2.1碰撞的动力学对接触点局部应变能的吸收与释放特征,可以用作均质圆盘,在无重力场的条件下,由右向左贴判断一对接触点碰撞是否完成的判据。着平面与斜面发生碰撞,接触点非理想,假设切向WodP满足库仑摩擦(图1)。广义坐标(x,y,0),其中xy为质心坐标,0为圆盘转角中国煤化工q(6)CNMHG-dPisinPN, u aq2mrde=dPi+ dP第6期赵振:机构中的碰撞动力学37法向冲量分配比:设接触模型满足:λN=K,(q)",=1,2接触点1其中:61rcosθ。那么冲量增量比为q, dPdP,/K, 315000dP积分步数dp接触点法向速度对比(-y-rtsing)dPI接触点(-tsina +ycosa-rosine)dP22.2较为简单的碰撞形式接触点2物理参数m=1,r=1,K1/K2=1,线性模型n1,能量恢复系数e,=1,动摩擦系数μ=1,静摩10000擦系数p=1.5。a=π/4积分步数图5切向速度变化对比图2和图3是整个碰撞过程中,接触点1和2存在着无数次碰撞的冲量累计,我们发现在开始阶段,接触点1的作计算参数设置如下:用并不十分强烈(累计法向冲量变化不大),两个接a=π/6,e,=1,p=2,p=3其他参数与3.2相触点并没有同时到达最高点,说明碰撞过程中各个同。计算结果如图6所示。接触点的作用并不是一致的。而当接触点1结束碰撞之前,接触点2又开始了第二次碰撞(图3最后阶段)。图5中我们发现两个接触点的切向运动交替黏滞,伴随着能量的交替转换。2.3多次碰撞形式当a较小,摩擦系数较大时,平面圆盘会出现多次碰撞,伴随着局部能量的交替转换,直到动能积分步数/x104损失殆尽为止,碰撞后圆盘被卡住。整个碰撞过程图6接触点1累计法向冲量参考文献:[1 Kane T R. David A, Levinson, Dynamics: Theory and Ap-plications[M. New York: McGraw-Hill. 1985[2] Stronge W J. Rigid body collisions with friction[J].Proceedings of Mathematics and Physics Sciences, 1990, 431(18)积分步数[3]Keller J B. Impact with friction[J]. Transactions of ASME图2接触点1累计法向冲量rnal of Applied Mechanics, 1986, 53(1): 1-4[4] Zhao Zhen, Liu Caishan, Chen Bin. The Numerical methodfor three-dimensional impact with friction of multi-rigid-bodysystem[J]. Science in China Ser, G, 2006, 48(6): 1-19a215to. Nonsmooth Mechanics[M]. London: Spring中国煤化工CNMHGk at an old problemsPried Mechanics-Transac100005000tions of the AsMe, 2001, 68(4): 575-583.图3接触点2累计法向冲量(责任编辑:周宇)