幻方的简易合成

第34卷第4期太原理工大学学报Vol. 34 No. 42003年7月JOURNAL OF TAIYUAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGYJuly 2003文章编号: 1007-9432 ( 2003 )04- -0496 -04幻方的简易合成赵丽华.(太原理工大学理学院.山西太原030024)商要:利用倒正交拉丁方,给出了关于2m+1阶幻方的和合成公式。另外,引入了幻方乘积的概念,给出了4m阶幻方的积合成公式;同时引入了加边幻方的定理,将4t阶幻方加边成41+2阶幻方。关键词:拉丁方;正交拉丁方;幻方中图分类号:O157文献标识码:A幻方是组合数学中最古老而有趣的内容,据传说n)为n阶拉丁方,则称L,=(axn- 1-,)为L,的倒拉丁大禹治水时就在神龟背上看到了3阶幻方。古代数方。学家杨辉给出了从3阶到10阶的幻方。除2阶幻方定理1 n阶拉丁方 L.=(2i-j)与其倒拉丁方不存在外,其它任意阶幻方都存在。国内外文献中构L.=(2i+j+ 1)是正交的，且其对称元偶集造幻方的方法多比较复杂，如文献[1],[2]。本文仅.({a,wau-+) :0≤i,j≤n-1}=用一个公式便给出了全部奇阶幻方,并引进了幻方乘{((2i- j) mod n, (2i+j+ 1)mod n)} (nXn)。积和加边的概念来给出除2外的全部偶阶幻方。这证明是幻方存在性的一个简短证明。本文的元素从0到若(2i-j,2i+j+1)=(2i'- j',2i'+j'+1)，n-1,只要再加上一个元素全为1的方阵便是其它文则有献中的幻方。(2i+j+1)-(2i-j) =为了讨论方便,我们需了解以下基本概念。(2i+j'+1)-( 2i-j').1)拉丁方:若n个不同的元素0,1,2.... ,n- 12j= 2j’， 得j= j'.中的每-一个在-一个n阶方阵的每一-行、每一列都恰好因为j=j',又出现一次,则称这个n阶方阵为一个n阶拉丁方。(2i-j,2i+j+1) =2)正交拉丁方:设A=(a;)nxn和B=(b;)x.是(2i'-j', 2i'+j'+1)，两个在元素0,1.2.... ,n-1上的n阶拉丁方(n≥所以i=i.即证(a,,ai(n- 1+;)=(2i-j,2i+j+1)正3),如果n个2-样品.交。(a,b;) (i,j = 0,1,2....n- 1)定理2设L,=((2i- j)mod n)，互不相同则称拉丁方A和B是正交的。即如果(ay，L.=((2i+j+ 1)mod n)，b,)= (ar;,b;;),那么必须i=i',j=j'.3)幻方:由0到n2-1这n2个数所构成的n阶则2m+1阶幻方的和合成公式为:Mm+1= M, = nL, + L..方阵,若它每行各元素的和(简称行和)、每列各元素的和(简称列和)、两对角线上各元素的和(简称对角证明因为L,I, 中的元素最小为0,最大为和)都相等(都等于"(n,-共),则称它为n阶幻方。n- 1,所以Mm+1中的元素最小为0,最大为n(n-1)2+(n-1)=n2-1,即Mm+为由0到n-1这n2个基于以上的基本概念,我们引入下列几类幻方的数所构成的n阶方阵. .简易合成问题。中国煤化工对角和为Ss则: .1 2m+1阶幻方的和合成(m≥1)YHCNM HGS=S2=Sg=:(2m土1D[(2m+1)°- 1]。定义1倒拉丁方:若L,=(a;)=(2i-j) mod收稿电期:20011-26作者简介?题附幸(1979- ),山西阳泉人，在读硕士,主要从事概率论与数理统计研究。第4期赵丽华:幻方的简易合成4972m(m+ 1)(2m+ 1).「135702468在nL,+L =(2m+ 1)L2m+1 +L2m+1中，s,=s,=(2m+1) (2m+ 1)[(2m+1)-1]+3572468135702(2m+ 1)[(2m+ 1)- 1]5. 7024681 36813570242m(m+ 1)(2m+ 1)，70.24681358 135702 4 6S3=(2m+1)2i+>(3i+1).0. 24681357|9x9在L。及L中,主对角线和为:则(2i-i)= Zi=!n(n-1)M, =9Lg+Lg =i=121416172113151717次对角线和为:74133353643234354665253656761535462(2i+j+1)= (3i + 1)mod n.58781728486871838当2m+1≠3t时,3i+1=3j+1,则i=j.5070020406080103(2(3:+1)= 2i= n(0-1)4262731232526322234456542444557514当2m+1=3t时，263757771627476763←12(3i+1)= 2(3i+1)=92949698193959799x93●((3i+1)) =2 4m阶幻方的积合成定理3设A=(a, ),xw(0≤i,r≤n-1)为一n阶3t(3t- 1)_ n(n- 1)幻方,B= (b,)mxm(0≤j,s≤m-1)为一m阶幻方，则所以幻方的乘积合成公式为:s3= (2m+ 1)●n(n-1) + n(n-1)_C=AXB= (Cm )wmXmn.其中cu=ar +nb,,k=i+ nj,t=r+ ns,0≤k,t≤mm2m●(m+1)●(2m+1).-1.综上可知,M2m+1=M,=nL +L,且M2m+为- -证明下证C 为幻方,因为A,B均为幻方,显然幻方。C中元素的行和、列和及对角和均相等，下面仅需证C例1由定义 1及定理1,我们可构造出L及中无相同元素。L.假使Cn=Cgr ,则有Lg = ((2i- j)mod 9) =ar十n°bj = ar+n2bys.-02.4681357又因a, ,a,r及b,,b;;为被n除所得余数与商，所以81.3570246须a,= arr,b,= bys.702468135又A,B为幻方,即i=i',r=r';j=j' ,s=s'.6 81357024故C为幻方。中国煤化工fYHCNMHG)5 10 157357.0246811114142.46813570|A=642=138725 07]x3135702468x963129]x4(2i+j+1) mod9)=498太原理工大学学报第34卷A+0J A+5.3*J A+10.3J A+15.3*J-例3下面给出4阶幻方A加边成6阶幻方B.A+11.3J A+14.3J A+1.3J A+4.3J051015-:==A+13.3J A+8.3J A +7.32J A+2.3J14 1_A+6.3*J A+3.34J A+12.34J A+9.32J」 12x128‘2|r A A+45.J A+90J A + 135J-3129A+99J A+126J A+9J A + 14J033323181:A+117J A+72J A+63J A + 36.J51015202530_A+54J A+27J A+108J A + 729J_29212411146由定理3及例2可推知,C又可表示为28231817127C=AXB=91613221926A+ bonrJA +bu1rJA+ bo14J其第一行元素为:A+b(m 1)on2J A +bom- 1)4J . A+bur 1)om- 1)nr"J_| mXxmoo = 0;mocas+t) = 1;moc) = 6t+2 (t≥2);注意,因为2阶幻方不存在,所以我们需要给出4阶mo;= i+1,1≤i≤t- 1,3t+1≤i≤4t-1;幻方和8阶幻方。然后根据定理3可得出2'(l≥3)阶mor= i+1, t≤i≤3t. .幻方,再由本文第1部分和定理3可得出2' (2m+1)其第一列元素为:阶幻方,由此便得出全部4m阶幻方。下面我们给出noo = 0; m+10= I;m = 4l+i,1≤i≤l;4阶幻方和8阶幻方。m,= 41+i+1，3t+1≤i≤4l;4阶幻方:mo = 4t+i, t+1≤i≤2t+ 1;mo=4t+i+1, 2t+2≤i≤3t.111414其中“i”表示i的补元，各行中补元的和与非补13872元的和应相等。_63129」4x4证明第- -行元素中:8阶幻方:012532647225735-2(i+1)+ 2(i+1)>+6t+3=389486031194252+l-2_ 72-51-2 +398183061.4943.52463427562313:6t+3= (2t+ 1)*，115029736401762之(i+1)=(+1)+(3t+1)(21+1)=5955143324520242252115323445458(2t+1)2 ,2851413716106638x8即得:i+1)+艺<(i+ 1)+6t+3 =3 4t+2阶幻方的加边合成1。1-31+1定义2设A=(a;)是一个 n阶幻方,令b.+1.+1(i+1).=a; +2n+2,再把0,1... ,2n+1和n+4n+第一列元素中:3.... ,n2 +2n+2加在其四周使得两个行和和两个列和满足:中国煤化工i+1)+1=boo +.十bocn+1) = b(n+1)0 +..十b(n+1)(n+) =fHCNMH.9t-4+1=.boo +.+ bun+1)0 = bou+1) +.+ bn+1)(+1)，对角和满足:12t十2t,boo十..+ bur+1>(n+1) = bocn+1) +.*+ b(n+1>0，(41+i>+ 2(4+i+1)=则B是一反方数据阶幻方,B称为A的加边幻方。第4期赵丽华:幻方的简易合成499吧+t+15f +3t= 12+ 2.22<41+i)+ 2((4t+i+ 1).i=3+1即证:24+2(4t+i)+ 2(4t+i+1)+1=i=r+1i=21+2参考文献:[1]陶照民.偶阶幻方和奇阶正交拉丁方的构造方法[J].应用数学学报,1983,6(3):276-281.[2]李 超.用线性取余变换构造正交拉J方和幻方[J].应用数学学报,1996,19<2):231-238.Several Simple Formulas of Constructing Magic SquaresZHAO Li-hua(Collegeof Sciences of TUT, Taiyuan 030024 China)Abstract : This paper presents a simple formula about 2m+ 1 order magic squares. In addition,it givesa definition about the multiplying of magic squares , then presents a formula about the multiplying of 4morder magic squares. And it gives several examples about the expanding of magic squares,also presents aformula about expanding 4t order magic squares into 4t + 2 order magic squares.Key words:Latin squares ;orthogonal Latin squares ; magic square(编辑:张红霞)(. 上接第483页)[1] Smruti Ranjan Behera. Towards The Automatic Generation of MAIDS[D]. Ames, Iowa,2001[2] Mark Slagell. The Design and Implementation of MAIDS[D]. Ames, lowa,2002[3] Hyacinth S Nwana. Software Agents: An Overview[J]. knowledge Engineering Review, 1996,11(3);1-40.[4] 陈波,于冷. 基于自治Agent 的人侵检测系统模型[].计算机工程.000.26(12):128- 129.5]王勇.状态网络人侵检测系统的设计和原型实现[D].东北大学,2002The Application of CPN-based Mobile Agent Intrusion Detection SystemSHANGGUAN Xiao-li, REN Xin-hua(College of Information Engineering of TUT, Taiyuan 030024 China)Abstract: This paper sets forth in detail a CPN- based mobile agent network applied in intrusion de-tection system. It mainly introduces the theory base of the system design, the transformation betweenthe agent and the CPN, and the system model , and analyses the advantage of the CPN- based system中国煤化工comparing with others and its future development.Key words : intrusion detection; mobile agent ; colored pe.YHCNMHG(编辑:贾丽红).