热方程的非古典势对称群与不变解

应用数学和力学第27卷第2期2006年2月)应用数学和力学编委会编Applied Mathematics and Mechanics重庆出版社出版文章编号:0002101热方程的非古典势对称群与不变解秦茂昌2,梅凤翔,许学军(1重庆工商大学理学院,重庆4000672.北京理工大学理学院北京100081)(胡更开推荐)摘要:主要研究了热方程与波方程的非古典势对称群生成元及相应的群不变解研究表明对于守恒形式的偏微分方程可通过其伴随系统求得的非古典势对称群生成元来构造其显式解这些显式解不能由方程本身的Lie对称群生成元或Lie- Backlund对称群生成元构造得到关键词:非古典势对称群生成元;热方程;波方程;显式解中图分类号:O152.50175.2文献标识码:A引言在微分方程(特别是对偏微分方程而言舶约化及显式解的构造的各种方法中对称群方法是一种非常重要且应用广泛的方法文献1~4论述的经典Lie对称群方法,可用来构造偏微分方程的显式解并对方程本身进行约化偏微分方程旳经典对称群通常是指定义在自变量及函数空间上将方程的解变为其它解的无限小连续变换同时将利用对称群方法构造得到的解称为方程的群不变解Bluman和Cole在文献56中用一种新方法,得到了守恒型偏微分方程的一种新的非局部对称这种对称既不是给定方程的Iie点对称也不是其Lie- Backlund对称这种对称被称为偏微分方程的势对称(古典势对称〕一般而言由于偏微分方程的势对称确定方程比它的Lie对称群确定方程要少所以要找出其所有的对称是非常困难的但同时也产生了找到新的对称及群不变解的可能性正因为如此这种对称引起了广大研究者的兴趣最近,古典势对称被进一步发展推广到了非古典势对称文献7]得到了波方程的几个非古典势对称群生成元及其群不变解文献8琍用 Burgers方程的非古典势对称群生成元构造得到了新的显式解关于守恒型偏微分方程的非古典势对称群生成元的寻找及其相应群不变解的构造还有大量的工作要做在本文的第1节我们将给出一种求偏微分方程非古典势对称群生成元的方法第2节则以热方程及波方程为例说明方程非古典势对称群生成元的求法及其群不变解的构造收稿日期:2004-03-19;修订日期:2005-10-30基金项目:国家自然科学基金资助项目(10272021)作者简介:秦茂昌(1971-)男云南永胜人博士联系人Tel:+86-23-60994796218秦茂昌梅凤翔许学军1寻找对称的方法考察阶数m≥2的如下守恒形式的偏微分方程D(f(y,a,u(1)(2)(1)式中自变量y=(x1x2…xn),为函数,j=12灬…m-1)表示第j次偏导数的全体例如{u12…,uan},a(2)={u1,u12…,am}灬…(具体以x1=t和x2=x为自变量来说,(1)={u1,},2)={un,a,ux},(3)={umn, uur ltrr illr})同时定义算子D+…,+ui”m:1bu12“a-1(i=12…mn)因为方程组(1是守恒形式所以存在n(n-1)2个函数y构成一个反对称张量j),使得f'(x(-1yn,y+x-1)1,y(i=12mm(2)当j≠i+1则令函数y"=0引入函数n=y+(i=12灬,n-1),可将方程(1)的伴随系统(2)变为如下形式的偏微分方程组dx2f=(-1特别地若n=2令x1=t,x2=x,f1=f和户2=-g,则将方程组1)写成af dg=0(4)选取函数y12=n=n,于是伴随系统(2)变为(5)假设方程组5具有如下形式的Lie对称群生成元v=tx,)+t x ,u)+g)n+不式中的对称群生成元系数函数τ、、φ和η通过求解下面的对称群确定方程组得到3-/=0只要对称群生成元系数函数r、、中的任何一个显含系数函数n不作此要求)则得到的对称群生成元给出方程组5肭的一个古典势对称群生成元为了寻找方程组5)的非古典势对称群生成元还要附加下列边条件热方程的非古典势对称群与不变解即,首先利用式5厢和8)求出偏导数u1、u1、n、n,再将它们代入对称群确定方程组(7)求出系数函数τ、、中和2应用在此节中将以用标准Lie对称群方法分析过的热方程及波方程为例对非古典势对称群生成元的求法及相应群不变解的构造进行具体讨论说明首先考察热方程的非古典势对称群生成元(9)将其写成守恒形式D(u)-D(u2)=0(10)相应的一阶微分方程组为附加边条件为zu2+5ux=ψ(12)TU, sUx tux su n由条件(12)可以得到n,=1n,=25(7-方程组11)的对称群确定方程组为)(rw,+5u,=卢,,+,=n)(14)m-11)(m+知=季m+=)=0将其展开得)+d(n-)中-u1(中-x-m+;)(15)中+东)+u(n+xx)+u1xn-u2rn,=0将式(13)代入方程组15)则有Tsn-.-2(-.-n+x)+5(x,+n)-x,+m)-2,+(16)5(4一一7+)-,一5+5(+)+2=+x)=0至此我们只需要从方程组15)16)中解出所有可能的系数函数就得到所有的对称要得到方程组(15)16舶的一般解是非常困难的我们仅仅考察一些特解当系数函数x≠0且η=哙则显然有φ=0,它们构成方程组16)的一组特解由这组特解得到非古典势对称群生成元为秦茂昌梅凤翔式中系数函数x≠0显含变量n虽然式(17)给出方程组11)的无穷多的非古典势对称群生成元但是容易证明由这些对称群生成元得到的不变解仅为常数.因而要得到对热方程有意义的非古典势对称群生成元系数函数和n必须满足关系式?≠n这里应该指出的是系数函数τ≠0是从方程组(12)得到关系(13)的必要条件.接下来首先考察系数函数x=0的情况若τ=0从方程组(12)得到u1=中/,;=n/=l,将它们代入方程组15)则有2n+钟+乐n-)-n2,=日2中,(n-)-5(-,-n)+水卓+东))+(18)0(m)-nD))。=0解方程组(18)可以得到如下一组特解5=-2at+b,s= av +(ax +c)u+ ax,n=(ax +c)+a(x,)其中a、b和ε为任意常数函数a(x,)需要满足热方程由该组解得到的非古典势对称群生成元为V2=(2a+b)a+(m+(ax+c)+a,)n+(am+c)+a)(19)不过容易验证从(19)中并没有得到热方程的任何新的对称令系数函数=-1(n+d),=d,e是非零常数)则由方程组18)的第1个方程求得系数函数φ=-c2,它们构成方程组18的一组特解其对应的非古典势对称群生成元为由非古典势对称群生成形(20)可构造得到热方程的如下显式解(21)当然觚21)也可以利用非经典方法由热方程的经典Lie对称群生成元at构造出来选取系数函数=ta(x+g),n=g是常数)则由方程组18)的第1个方程可得到系数函数φ=-tanx+g),它们构成方程组18舶的一组特解其对应的非古典势对称群生成元为rx由式(22)可构造得到热方程的如下显式解ux式中h是常数选取系数函数s=co(x+g1),=t(g1是常数)则由方程组18)的第1个方程可得到系数函数φ=-υta(x+g1),它们构成方程细18舶的1组特解其对应的非古典势对称群生成元为81 5x- tcot x+81 a(24)由(24)可构造得到热方程的如下显式解Id x t)=coxx+gix(25)式中h1是常数热方程的非古典势对称群与不变解现在考察系数函数τ≠0的情况当τ≠0时由方程组(16)可以得到下列特解s= 4ixt+ hp=-2ixy -( ix+6it+ m )u+aDU + acx与其对应的非古典势对称群生成元为=(4in2+j)》,+(4ixt+k)+(-(ix2+2it+m)+a(xt)+(-2ixu-( ix+6it m )u +a)同样,下列函数n,5=-2t+o,中=也是方程组(16)的一组特解,与其对应的非古典势对称群生成元为dx +(u+ du u s很遗憾到目前为止未能利用非古典势对称群生成戒(26和27构造得到热方程的新显式解选取系数函数x=x美其显含n)=0并且令n=p(p是常数)则由方程组16)的第1个方程可以得到ψ=0,它们构成方程组16舶的1组特解其对应的非古典势对称群生成元为V8=xw)at+ pt x ,u(28)由式(28)可构造得到热方程的如下显式解)t+ p式中q、r是常数接下来我们考察(1+1)维波方程的非古典势对称群生成元(30)写成守恒形式为x相应的一阶微分方程组为(32)附加边条件为+5u综合式32厢33)可得到-(34)若采用文執7的方法将式34)代入非古典势对称群生成元确定方程T:)+un+u(m+-中-x)-u(m-,-中+x)-中=0化简求解是非常复杂而困难的由式(34)可以直接得到+222秦茂昌梅凤翔令(n+)(x+)=tAxl),综合式30和(36)可得D(ψ)-D、y)=0(37)由于n,=u和n1=u1通过适当的选择待定函数ψ,可以很简单的得到文献7所求得的非古典势对称群生成元及相应的不变解而且能够得到更多的非古典势对称群生成元且计算较为简单[参考文献]1] Olver PJ. 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Klev Institute of Mathematics of Nas of Ukraine 1997 130-137Nonclassical Potential Symmetries andInvariant Solutions of Heat EquationQIN Mao-chang2, MEI Feng-xiang, XU Xue-jun'(1. School of Science, Chongqing Technology and Business UniversityChina2. School of Science Beijing Institute of TechnologBeijing 100081, P. R. ChinaAbstract Some nonclassical potential symmetry generators and group-invariant of heat equation andwave equation were determined. It is shown that new explicit solutions of conserved equations can beconstructed by using the nonclassical potential symmetry generators which are derived from their adjoit system. These explicit solutions cannot be obtained by using the lie or Lie- Backlund symmetrygroup generators of differential equationsKey words nonclassical potential symmetry generators heat equation wave equation explicit solution