Vague划分

第36卷第11期计箅机科学ol.36209年11月Computer ScienceVague划分梁家荣刘力2伍华健广西大学计算机与电子信息学院南宁53004)(玉林师范学院数学与计算机科学系玉林5370002摘要根据vgue集具有真假隶属度的特点,首先提出了基于t模和t余模的真相容度、假相容度、真相等度和假相等度的概念。然后合理地利用真相容度、假相容度、真相等度和假相等度提出了半 vague划分和 vague划分的概念,并讨论了它们的性质。关键词t模,t余模,剩余蕴含,半 vague划分, vague划分LIANG Jia-rong LIU Li' WU Hua-jianSchool of Computer and Electronic, Guangxi University. Nanning 530004. China)Department of Mathematics and Computer Science, Yulin Normal University, Yulin 537000, China)2Abstract The concepts of degree of truth-compatibility, degree of false -compatibility degree of truthrequality, degreefalse-equality based on t-norm and t-conorm were introduced, because a vague set has the characteristic of truthmembership function and fase-membership function. Futhermore we presented the concepts of semivague partitions andvague partitions by using locically degree of truth compatibility, degree of false-compatibility degree of truthrequality,degree of false-equality, and we investigated the characters of semi-vague partitions and vague partitions.Keywords t-norm, t-conorm, Semi-vague partion, Vague partion此把经典集合划分理论、模糊划分理论推广到 vague集理论,1引言是一种很自然的想法。然而遗憾的是完整 vague划分理论近年来,人工智能从研究内容到研究方法都有了很大的尚未建立起来使得 vague集理论应用到智能决策、人工智能发展研究人工智能的工具也在不断地发展。作为处理不完及模式识别等领域受到了一定程度的限制。本文考虑到整和不完全信息智能系统的重要工具,模糊集理论自从 vague集有真假隶属度的特点,系统地研究了半 vague划分和Zaden于1965年提出后1,其理论和应用(例如在自动控制、 vague划分及其关系,成功地解决了 vague集理论在划分方面模式识别智能决策)取得了巨大的成就2。在传统的模糊的不足,对丰富和发展 vague集理论具有重要的学术意义集中,一个元素x与一个集合X之间的关系由一个介于[01]之间的数(x)来表示它包含了支持和反对这一对象x隶2准备工作属于集合X的程度但无法表达既不反对也不支持这一对象定义111映射T:[0,1]×[0,1]→[0,订],如果va,b,x隶属于集合X的中立情况给许多实际问题(如投票模型、c,d∈[0,1]满足条件医疗诊断和多目标决策等)的研究和处理带来了困难。为了(1)交换律:T(a,b)=T(b,a)解决这一问题,1986年 Atanassov提出了所谓的直角模糊(2)结合律:T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c))集。 Atanassov提出用真隶属度t和假隶属度f两个量来(3)单调性:a≤c,长≤dT(a,b)≤T(c,d)描述一个对象x和一个集合X之间的隶属关系。后来,1993(4)边界条件:T(1,a)=a年Gau和 Buehrer定义了一个所谓的 vague集。值得指出则称T为t模(tnom)的是, Bustince和Burl在文献[8]中证明 vague集就是直觉定义216映射S:[0,1]×[0,1][0,1,如果va,b,c模糊集。虽然, vague集理论和应用已取得了一定的发d∈[o,1]满足条件展),但与经典集合理论和传统的模糊集理论相比 vague(1)交换律:S(a,b)=S(b,a)集理论还有许多不尽完善的地方例如 vague划分的相关理(2)结合律:S(S(ab),c)=S(aS(b,c)论目前少有文献报道。由于经典集合划分理论模糊划分等(3)单调性:a≤c,≤d→S(a,b)≤S(c,d工具已在数据挖掘和决策分类中起到了极为重要的作用因(4)边界条件:S(a,0)=a到稿日期:20081224返修日期:20090227本文受国家自然科学基金项目(60564001),教育部“新世纪优秀人才支持计划”专项(NCET06-0756)广西自然科学基金项目(桂科自0832286)资助,橐家荣(1966-),男,博土,博士后教授,主要研究方向为人工智能数据挖掘模糊控制E-mail:liangir@gxu.edu.cn;刘力(1957-),男硕士教授,主要研究方向为人工智能智能控制;伍华健(1965-)男硕士教授主要研究方向为人工智能网络可幕性分析则称S为t余模( t-conom)或s模(snom)设A是论域X的 vague集(2),YsX。只考虑A在Y上3主要结果的 vague属性时用Aly来表示,也就是当x∈Y时tAy(x)=下面给出 vague半划分和 vague划分的定义4(x)AfAy(x)=A(x);当xX-￥时tAy(x)和fAy(x)定义8设T是一个t模,S是一个t余模,是由若干都没有意义个X上可形式化的 vague组成的集合,称π是X上的一个半定义3设T和T2是两个t模S1和S2是两个t余 vague划分,如果vA,B∈x,C(A,B)≤E(A,B)∧C(A,模称t模(T1,S1)比t模(T2,S2)弱如果(Va,b∈[0,1])B)≥E(A,B)(T(ab)≤T2(a,b)∧S1(a,b)≥S2(a,b))。性质4设T是一个t模,S是一个t余模,如果是X定义4设A是论域X上的一个 vague集称kerA={x的一个半 vague划分,那么对于任意的x中的A和B有Crx∈XAtA(x)=1AfA(x)=0}为A的核。若A的核非空,(A,B)=E(A,B)A(AB)=E(A,B)则称A是一个可形式化的 vague集证明:设A,B∈x,而x1∈kerA,x2∈kerB,则定义5对于t模Tt余模S,C(A, B)=supT(tA(x),t(r))1)称二元算子gr(x,y)=sup{zz∈[0,1]AT(x,z)≤>max(T(IA(xI), tB(xr)), T(A(x),tg(x2))y},x,y∈[0,1]为T的剩余蕴含=max(ta(r,),ta(xz))2)称二元算子w(x,y)=mf∈[0,1AS(z,y)≥x},E(A, B)=infAr(tA(r),tB(r))xy∈[0,1]为S的剩余蕴含。max(S(fA(I), g(n)), S(fa(x2), f8容度;(x2)2)称((A,B)=gS(A(x),fa(x)为A和B的假相=max(B(r), fA(r2))容度;E(A,B)≥G(A,B)3)称E(A,B)=4pr(x(x,4a(x)为A和B的真相由x是X的一个半 vague划分及式(1)和式(2)得:等度;C(A, B)=E(A, B)AC(A, B)=E(A, B)4)称E(A,B)=ys(A(x),(x)为A和B的假相性质5设T是一个t模,S是一个t余模,如果x是X等度的一个半 vague划分,那么对于任一 vague集A,总有C(A,A)≤E(A,A)=1,O月K(x)={kerA|A∈r}构成X的一个半划分。(A,A)≥E(A,A)=0证明:由于π是X的一个半vgue划分,因此vAer,ke性质3设T是一个t模,是一个t余模,那么对于任A≠。此外若对于任意的x中的A和B,kmA∩kxB≠意的X上的 vague集A和B,以下结论成立:必有如eA=kerB。为此只需证明 ker asker b a ker BE(A, B)=1AE(A, B)=OHA=BkerA若x∈kerA,由q(A,B)=1可得E(A,B)=1,从而证明:1)若A=B,显然有E(A,B)=1AE(A,B)=0:中(a(x),t(x)=1→pr(1,a(x)=1→la(x)=1,另一方2)若F(A,B)=1A(A,B)=0则F(AB)=1且E(A,面由O(A,B)=0可得E(A,B)=0从而(fA(x),BB)=0,对于Vx∈X,由E(A,B)=1得軒(A(x),l(x)=(x)=0→g(tn(x),0)=0→f8(x)=0,所以x∈kerB,因此1,从而q(tA(x),tB(x)=g(tB(x),(x)=1。因此有 Pr ker Asker B。类似地可得 ker bcker a,所以kerA=ker(A(x),1)≤te(x)和g(t(x),1)≤(x),所以(x)≤B,这就证明了K(x)={ kerAlA∈x}构成X的一个半划分(x)∧t(x)≤A(x),也就是A(x)=tB(x),同理由E(A,B)性质6设T是一个t模,S是一个t余模,如果x是X的0可以推得fA(x)=fB(x),综上所述有A=B一个半 vague划分,那么对于任意的r中的A和B,kerA=kerB→A=B{an},{b},an∈[0,1],b∈[0,1],a+b≤1,讠j∈l,使得证明:由π是X的一个半vge划分可知keA=kerB≠如下条件成立:,进而得到C(A,B)=1及C(A,B)=0。所以E(A,B)=()(vi,j∈D(vr∈kerA)(1(x)=aAfA(x)=1及E(A,B)=0。由E(A,B)=1→Vx∈X(虾(t(x),tBb;(x)=1)→Vx∈X(p(t(x),a(x))=1Agr((x),1(i)(wi∈D(a=1Abh=0);(x)=1→Wx∈X(q(1(x),1)≤1(x))∧((x),1)≤(ii)(Vi, jED(ag =a, Ab,=b,tA(x)→Vx∈X(tA(x)≤tB(x)AtB(x)≤LA(x))→x∈X(iv)(i,jk∈D)(T(a,)≤a∧S(bh·b)≥b)(tA(x)=tB(x))。证明:由定理1,取a=(x)Ab=f(x),x∈kerA,一方面,E(A,B)=0→Vx∈X(如(fA(x),fB(x))=显然{an},{b},a∈[o,1],b∈[0,1,a+b≤1,,j∈l,0)→vx∈X(g(A(x),f(x)=0Ag(fB(x),A(x))=0同时有(vi∈D(a=1Ab=0)。为此只需证明(i)和(iv)→Vx∈X(s((x),0)≥fA(x))Ag(fA(x),0)≥f(x)→注意到Vr∈X(f(x)≥fA(x)∧fA(x)≥fB(x)→Vx∈X(fA(x)max(a,a)≤G(A,A)≤E(A,A)≤min(a,an)≤f(r))max(a;,a,)综上所述,有A=Bmx(b,b)≤E(A,A)≤q(A,A)≤min(b,)≤定义9设T是一个t模,S是一个t余模,是由若干max(b,, b)个X上可形式化的 vague组成的集合。称r是X的一个因此(vi,j∈D)(a=a,∧b=b。现在证明(4),一方vague划分,如果x是X的一个半 vague划分且集合K(π)=面有:{kerA|A∈r}是X的一个划分。C(A, Ay )=suPT(EA, (r), LA, (r))>, up T(iA (2),例1设X=[0,1),考虑如下定义的 vague集At(x)=T(a,.)=T(a,a)E(A,Ai)1,x∈[tA(y)。一方面,有:G(A, B)>T(A(x),tg(r))=ta.所以b≤酽(A,A)≤((A,A)≤S(h,如)另一方面,有:定理3设T是一个t模,S是一个t余模,x={A.|i∈Er(A, B)E(A,B,这与x是X上的一个A,那么A=A今半 vague划分矛盾,因此tA(x)是一个常数。下面证明fA(x)证明:设{an},{bn},a∈[0,1],b∈[0,1],a+b≤1,亦为常数。否则若存在x∈kerB和y∈kerB使得fA(x)≠i,j∈I为定理2中定义的两常数序列。Vr∈kerA,必存在fA(y),不妨设fA(x)>fA(y)。一方面,有:k∈使得A∈兀一方面有t(x)=a=aA(x)=h=C(AB)≤(A(y),B(y)=g(fA(y),0)=fA(y)b和A(x)=a=aAf(x)=b=b,另一方面因为另一方面,有:kerA;=kerA,所以ω=c∧b=b。因此E?(A, B)>S(fA(r),fB(r))=S( fA(r), 0)=fa(r)(x)=t(x)A(x)=f,(x)这样,得到C(A,B)or(max(az,au), min(ai,aw )从而有aa≠ak(否则由上式得出T(a,a)>gr(max(a[1] Zach. Fuzzy setsJ]. Information and Control, 1965(8):338-353au),mna,a)=1,这是一个矛盾)。为了讨论方便不妨2 Acampora G,LoiV. A proposal of ubiquitous fuzzy computingfor Ambient Intelligence [J]. Information Sciences, 2008, 178设ar(a,a),于是有631-646[3] Lin F, Ying H, MacArthur R D, et al Decision making in fuzzy由条件(iv),有:discrete event systems [J]. Information Sciences, 2007, 177,T(a,T(a4,a))=T(a,T(an,a))≤T(au,a)≤a(4) [4] Liu Y J. Wang W Adaptive fuzzy control for a class of uncertain式(3)和式(4)是一个矛盾。因此G(A,A)≤E(A,A)nonaffine nonlinear systems [J]. Information Sciences, 200177:3901-3917另一方面,有[5] Mitchell H B. Pattern recognition using type-IF fuzzy sets[J].G(A,A)=S((),八(x)=(,h)Information Sciences, 2005. 170:409-418E(A, A)=Sups(A (2), fA())=sups (bu,bx)- [6] Atanassov K Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzy Sets and Sys-sugs(max(ha,b),minb,b)如果G(A,A)≥E(A,ms,1986,20:87-96A)不成立则存在j和l使得:[7] Gau W L, Buehrer D J. Vague Sets[J]. IEEE Trans. on Sys-tems, Man and Cybernetics, 1993, 23: 610-614S(b, )S(b, bu)>b(6)Recognition Letters. 2002, 23: 221-225式(5)和式(6)是一个矛盾,因此G(A,A)≥E(A,A)11 De S K, Biswas R, Roy A R. An application of intuitionistic fuzzy综上所述,x={A∈I}是X的一个半 vague划分。sets in medical diagnosis]. Fuzzy Sets and Systems, 2001, 117.推论2设T是一个t模S是一个t余模,x={A4li∈[12] Schrijver E, Kerre e On the composition of intuitionistic fuI}是X上的一个 vague划分,那么定理4中相应的两常数序y relations ]. Fuzzy Sets and Systems, 2003, 136: 333-361列{an},{}an∈[0,1,∈[0,1],叫+b≤1,i,j∈l可[la] Hung W L,wuJw. Correlation of intuitionistic fuzzy sets by由如下式子来决定centroid method[]. Information Sciences, 2002,144: 219-225(Vi, jED(au=C(A, A )=E(A, A )b=C(A, [14] Alaca C, Turkoglu D, Yildiz C Fixed points in intuitionistic fuzA; )=E(A,, Ay metric spaces[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2006,29:1073-证明因为C(A,A)=出T(a(x),4(x)=T(aaa4),所以[15] Demirci M. The generalized associative law in vague groups andits applications-I[J]. Information Scien06,176:900936a=Ta;4n)≤C(A,A)=Pr(a,a0)≤a[16]胡宝清模糊理论基础[M].武汉:武汉大学出版社,2004