集族的性质及应用

首都师范大学学报(自然科学版)第34卷第1期Journal of Capital Normal University2013年2月Natural Science Edition)Feb.,2013集族的性质及应用周艳!陈恒新许卫忠(1.华侨大学数学科学学院,福建泉州362021;2泉州第一中学,福建泉州362021)本文主要研究了某些集族的滤子性、全族性和厚族性,并利用集族之间的关系讨论了某些动力系统之间的弱不连结性关键词:虑子,全族厚族,弱不连结中图分类号:01440引言的;如果g‘(F)=∈z+j∈F}∈只则称P是平移负不变的.如果既是平移正不变的,又是动力系统中的许多性质和数集理论有着紧密的平移负不变的,则称是平移不变的令T={F联系, Furstenberg H, Weiss B等人利用非负整数集对Z,的任意有限子集{i1i,…i,g(F)∩族等价地定义了动力系统中的一些概念杨润生教g(F)n…g“(F)∈罗)}.记B为Z.的无限子授又研究了无限差集类的性质及应用本文在这些集族,称TB为厚集族KB为有限余子集族KTB为研究的基础上继续介绍一些集族的性质和理论,并 Syndetie0集族记D为Z,的下 Banach密度为1的子讨论了其在动力系统中的应用集族(见文[1]),则KD为正上 Banach密度的子集1基本概念族(见文[2]).记D为Z,的正上密度子集族(见文[3]),则KD为下密度为1的集族(见文[3]).易设(X,d)为紧致的度量空间,∫∈C°(X,X),知B,KB,TB,KTB,D,KD·都是平移不变族f°表示恒等映射,Vn∈Z,归纳定义f”=f%f若9满足:对任意F0,F1∈都有F∩F1称(X,为迭代离散动力系统,简记为∫9则称为滤子.由文[1]可知,族是滤子当且仅令N={1,2,3,…}为自然数集,z为整数集,Z当F是真族且C只其中·={F1∩F2:F1∈表示非负整数集合P表示Z,的幂集,P.=P\{甲},,F2E1易知若C,则·C只从P的子集称为Z,的子集类若甲为一子集类其对偶而若是滤子,则对!k∈N,有…;只若Kq={F∈P对于ⅤF1∈甲,F∩F≠中}·显然若甲1Cq2,则K13K2如果为一子集类且满足:KB·死℃∝则称真族是全族F2F1,F1∈必F∈只则称夕为一子集族.易见,若设φ为一集类,若对任意非负整数系列p1,P2,p为子集类,则K必为子集族P的真子集族为P,∈,其任意有限和P1+p2+…+P∈甲,其真族中iN的元素;同理若甲CP,U,为X的任意非空开集,M(O,令m,=n,其中n2为S中从小到大第一个满足V)={n∈2.|f(U)∩V≠中}={n∈zn,>N的元素U∩∫'(V)≠ψ}∈甲,则称(X为φ可迁的;依次构造出S={m,|m1N+1,故S-SCF1,所以F1∩F2S-S的,则称f系统与∫2系统弱不连结定理4(1)Kφ4是全滤子2主要结论及证明(2)KP是滤子,且Kp4 C KIP C KTBCLIP引理1对任意S1,S2∈P,,有S∩S2-S1∩证明由文[1]命题9.6知[q4],[IP]满足拉S2C(S1-S1)∩(S2-S2姆齐性质,从而其对偶K4,KIP是滤子由文[4]中证明对任意n∈S1∩S2-S1∩S2,存在l,m命题2.2b知F是全族当且仅当KF是全族,从而由∈S1∩S2,使得l-m=n.所以l,m∈S1,l,m∈定理3知Kφ4是全滤子S2从而n∈S1-S1,n∈S2-S2所以n∈(S1根据文[1]中的引理9.1有TBc[IP]cS1)∩(S2-S2),所以S1∩S2-S1∩S2C(S[φ4],所以Kp。 C KIP C KTBS)∩(S2-S2)由IP集类的定义可知,对任意S∈P,S-S定理1对任意族,%,有[甲△]·[qS,从而对任意F∈[甲pA],存在S∈IP,使F3SC[甲两,两-]-SS.因为[P]是一个族,所以F∈[IP],所以证明对任意F1∈[任意F2[φp]c[IP][φ,],存在S1∈只,存在S2∈,使得F13S1定理5[φx]·[qo]cKTBS1,F2S2-S2显然S1∩S2∈F1·F2,从而由证明对任意F1,F2∈[φ3],分别存在S,引理1得S2∈KD,使FS1-S1,F23S2-S2由文[1,75F1∩F2(S1-S1)∩(S2-S2)3S1∩S2页]知,若S1,S2,…S∈KD,则S1∩S2∈[(S-S)∩(S2-S2)∩…∩(S4-S)∈KT由族的正向继承性知F1∩F2∈[甲x],所故F1∩F2D(S1-S,)∩(S2-S2)∈KTB,所以F1∩F2∈KTB,所以φ定理2若尹是滤子,则[φ也是滤子[φAa]·[φa]cKTB证明若是滤子,则买只故由定理1知3应用举例φ。]·[q]c[φ,r]=[显然由是滤子知严是真族,从而[φxA]也例极小稠密的系统与[φ4]可迁系统弱不连结是真族,所以[qr]也是滤子证明由文[4]定理4.1和命题4.1a知:若F定理3[q4]是全族是全族,f是F可迁的,是KF中心的,则f×f2是证明只需证KB·[φ4]C[q2,从而只需证拓扑可迁的,即f1与f是弱不连结由文[5]中的定对任意F1∈KB,F2∈[φ4],都存在S∈B,使F∩理4(2)知[φxn4]c[qo。1cKq4,所以由文[2F23S-s引理5知极小点稠密的系统是Kφ4中心的.又由定根据定义,对任意F1∈KB,存在N>0,使F,理3知[]是全族,所以极小点稠密的系统与3N+1,N+2,N+3,….对任意F2∈[q],存[q2]可迁系统弱不连结在S1={n|n1