中值定理的推广及应用

第33卷第6期佛山科学技术学院学报(自然科学版)Vol 33 No62015年11月Journal of Foshan University( Natural Sciences Edition)Nov.2015文章编号:1008-0171(2015)06-0059-05中值定理的推广及应用李蕙萱(黎明职业大学公共教学部,福建泉州362000摘要:主要对数学分析教材中的费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理进行了较全面地推广,并通过举例说明了这些定理在函数的单调性、极值、极限、证明不等式和恒等式等方面的应用。关键词:费马定理;罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒定理中图分类号:O172文献标志码:A大多数数学分析教材凵2中主要介绍了费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理较强的条件和结论,以及它们在求函数极值、判定函数的单调性、求不定式极限、证明不等式和恒等式等方面的一些应用,但是某些实际问题,由于不满足定理中的条件,所以不能直接应用这些定理,因而具有一定的局限性。本文针对这些问题对以上定理进行推广,如推广到开区间、无穷区间等情形,并通过举例说明有关的应用,旨在为解题带来更大的方便。费马定理的推广及应用费马定理给出了可导函数在极值点的导数值为零的理论,因此费马定理仅适用于可导函数的情形,具有一定的局限性,下面针对函数不可导的极值点的导数值进行推广,首先引入次微分的概念。定义1凸函数f:R在点x的次导数,是实数c使得f(x)-f(x0)≥c(x-x0)。对于所有I内的xo,可以证明,在点x的次导数的集合是一个非空闭区间[a,b,其中a和b是f在xo处的单侧极限,且满足a≤b。所有次导数的集合a,b]称为函数f在xo的次微分,记作f(x0)=f'(x0),fF(x0)]。引理1凸函数的局部极小值一定是整个定义域内的最小值命题1设f(x)是定义在(a,b)上的凸函数,则0∈(x0)是x0为函数f(x)在(a,b)的极小值点的充要条件。证明(充分性)设在(a,b)上的凸函数f(x)的极小值点是x0,则由引理1知f(x)在(a,b)上的最小值点是x,即Ⅴx∈(a,b),有f(x)≥f(x0)+0(x-x),故0∈0f(xo)。(必要性)设有0∈(x0),从而Ⅴx∈(a,b),有f(x)≥f(x0)+0(x-x0)=(x0),即f(x)在(a,b)上的最小值点是x0,同时也是极小值点推论1当凸函数f(x)在(a,b)上为可导函数时,xo是f(x)在(a,b)上的极小值点的充要条件为f(x0)=0例1讨论函数y=|x|,x∈R的极值问题收稿日期:2015-04-09中国煤化工作者简介:李蕙萱(1974-),女,福建泉州人,黎明职业大学讲师CNMHG佛山科学技术学院学报(自然科学版)第33卷首先,由绝对值三角不等式的性质得t∈(0,1),Hx,y∈R,|tx+(1-1)y|≤tx|+(1-t)y|。即该函数为凸函数,由定义1知,当x>0时,0f(x)=1;当x=0时,f(0)=[-1,1;当x<0时,af(x)=1故仅当x=0时,0∈矿(x),由命题1得,该函数极小值点是0且惟一。2罗尔定理的推广及应用罗尔定理是一个充分而非必要条件,且对涉及的函数要求为闭区间,但在实际问题中会碰到开区间或半开半闭区间或无限区间等情形。命题2设在区间(a,b)上函数f(x)连续,在区间(a,b)内可导,且limf(x)=limf(x)=A,其中Ax为常数,则彐∈(a,b),使得f"()=0命题3设在区间[a,b)上函数f(x)连续,在区间(a,b)内可导,且limf(x)=f(a),则彐∈(a,b使得f"(≥=0命题4设在区间(a,b]上函数f(x)连续,在区间(a,b)内可导,且limf(x)=f(b),则彐∈(a,b),使得f"(5≥=0。命题5设在区间[a,+∞)上函数f(x)连续,在区间(a,+∞)内可导且imf(x)=f(a),则彐∈(a,∞),使得∫()=0命题6设在区间(a,+∞)上函数f(x)连续,在区间(a,+∞)内可导,且limf(x)=limf(x)=A,其中A为有限实数,则彐∈(a,+∞),使得∫'()=0。命题7设在区间(-∞,a上函数f(x)连续,在区间(-∞,a)内可导,且limf(x)=f(a),则彐∈(-∞,a),使得f"(=0命题8设在区间(-∞,a)上函数f(x)连续,在区间(-∞,a)内可导,且limf(x)=limf(x)=A,其中A为有限实数,则彐∈(-∞,a),使得∫"()=0。命题9设在区间(-∞,+∞)上函数∫(x)连续,在区间(-∞,+∞)内可导,且limf(x)=limf(x)A,其中A为有限实数,则彐∈(-∞,+∞),使得f()=0证明若∫(x)是常值函数,结论显然成立。下面只讨论∫(x)不是常值函数的情形。在这一情形下,不妨设彐x∈(-∞,+∞),f(x)>A=limf(x)。因为f(x)在(-∞,+∞)上连续,由连续函数介值定理的推广形式可知,丑5∈(-∞,x),2∈(x,+∞),使得f()=f(2)。再由罗尔定理得∈(,52)C(-∞,+∞),使得f"(5)=0。命题10若在区间(a,b)内函数f(x)可导,且limf(x)=limf(x)=+∞或-∞,则引ξ∈(a,b),使得f"()=0证明不妨设imf(x)=limf(x)=+2,并令M=f(“+)。则36(0<6),使对满足aM3x∈(a,a+)使得f(x1)>M。对上述f(x1),362∈(06x)使得满足b-60,f(x)在(a,a+6)(b-8,b)内有相同的单调性,则至少1,∈(a,b),≠52使得f"5)=0,f(52)=0。例2设F(x)在(a,b)上可导,且limF(x)>0,limF"(x)<0,证明彐ξ∈(a,b),使得F'()=0。rb证明据题设所给条件和极限的保号性知,3δ>0,当x∈(a,a+8)时,F(x)>0,即F(x)在(a,a+6)上单增;当x∈(b-8,b)时,F(x)<0,即F(x)在(b-8,b)上单减,由上述命题11知,一定彐ξ∈(a,b),使得F'(点)=0。3拉格朗日中值定理的推广及应用拉格朗日中值定理是中值定理的核心,在许多问题中能得到应用,可是受到开区间内可导条件的限制,有时并不能很好地解决问题。命题13设在闭区间a,b]上函数∫连续,若在(a,b)内函数除了有限个点外可微,则彐∈(a,b),使得(b)-f(a)|≤f(o)|(b-a)。证明不妨设f仅在d∈(a,b)不可微分,分别在区间[a,d,[d,b]上应用拉格朗日中值定理得f(d)-f(a)=f'(o)(d-a),o∈(a,d),f(b)f(d)-f'(a2)(b-d),a2∈(d,b),令团f"(p)=maxf(1)|,f'(a2)|,使得(b)-f(a)≤(o)|(b-a)。命题14设在闭区间[a,b上函数f连续,若在(a,b)内函数f除了n个点外可微,则存在n+1个点a24…述(m0,且f(b)-f(a)=af'(1)+af'(52)]这个证明方法显然可以推广到f在n个点(n>1)上不可微的情形。命题15若在闭区间a,b]上函数f连续,在开区间(a,b)内存在左右导数f',f+,且f(b)=f(a),则彐x∈(a,b),使得f'(xf'(x0)≤0。例3证明 arctan a- arctan b≤{a-b|。证明设f(x)= arctan x,x∈a,b],则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理可得m(04),取绝对值1mbb1+,因为1|=1所以 arctan a- arctan b|≤a-b|。4柯西中值定理的推广及应用柯西中值定理的条件要求x∈(a,b),g(x)≠0,这个条件限制g(x)的条件较强,为单调函数,且要求g(x)≠0(x∈(a,b)),应用范围受到限制命题16若在闭区间[a,b上f(x)和g(x)连续,在开区间(a,b)内可导,g(a)≠g(b),则在(a,b)内至少存在一点c,使f(c)=/(b)-f(a)dlc)g(6)-g(a)证明作辅助函数Fx)f(x)-f(a)-fb)f(a)g(x)-g(a)同然F)足罗尔定理的条件中国煤化工则至少存在一点c在(a,b)内,使F(c)=0,即CNMHG佛山科学技术学院学报(自然科学版)第33卷(b)-f(a推论2若在闭区间[a,b]上f(x)和g(x)连续,在开区间(a,b)内可导,且g(a)≠g(b)f(x)和g(x)不同时为零,则在(a,b)内至少存在一点c,使g'(c)g(b)-g(a)°证明由命题16知,在(a,b)内至少存在一点c,使r(e)=/(b)(a)g1(c)-g(a由f(c)和g'(c)不同时为零,必有g(c)≠0,否则g(c)=0,则f(c)=0,这不可能,所以将/'(c=f(b-flalg'(c)两边同时除以g(e),可得fc)=f(b)f(a)例4设函数f(x)∈c[a,b],且在(a,b)内可导,证明彐c∈(a,b),使得2cf(b)-f(a)]=(b2-a2)f'(c),其中a>0。证明只须证(b)f()=c)。令g(x)=,则/(x)g(x)满足柯西中值定理条件,所以彐ce(a,b),使f(b)(a)=(C),即f(b)(n)=f"(c),由此原结论成立。5泰勒定理的推广及应用当出现两个函数在区间(x,x1)中n+1阶可导时, Taylor中值定理需要推广命题17如果在区间(x0,x)中函数f(x)和g(x)具有n+1阶导数时,那么彐∈(xo,x1),使得(5)f(x)∑r4(x)(x3(x)-∑g+(x0)证明设F(x)=f(x)(x0)(x-x)hg(ao)(a-xo)则当i0,1,2,…,n时,有F(x)=(x)-2/n),6(x)=g(x)-2g+(x)(x=易得F(x0)=G“(x0)=(由柯西中值定理可得彐∈(xo,x1),使得F(x1)F(x1)-F(x)F(1)G(x1)G(x1)-G(x0)G(1)不断使用这两个等式和柯西中值定理可得彐ξ∈(x0,x1),使得F(x1)F叶()f(x1)-∑/(f"(g(x)-∑YH中国煤化工CNMHG第6期李蕙萱:中值定理的推广及应用例56利用泰勒公式求极限 lim nx→→0 Y sin a解由泰勒公式知sin(E+ -)x sin($+55!sin xsin(+丌)sIn(十一Txa其中,在0与x之间。参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2010[2]欧阳光中,姚允龙,周渊数学分析[M].上海:复旦大学出版社,2003[3]辛健拉格朗日中值定理在证明中的应用[J].大众科技,2007(3):181-183[4]盛小兰.例谈微分中值定理的证题技巧[J].技术监督教育学刊,200901):16-19[5]赵香兰巧用微分中值定理J].大同职业技术学院学报.2004,18(2):64-66[ MAUCH S. Advance Mathematical Methods for Scientists and Engineers[ M].[S. 1. Mauch Pubulishing Company, 2003【责任编辑:王桂珍 foshanwgzh@l63comPromotion of the mean value theorem andits applicationuI-XuanDepartment of Public Teaching, Liming Vocational University, Quanzhou 362000, ChinaAbstract: In this paper, several common mean value theorems, such as Fermats theorem, Rolle theorem,Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem and Taylors theorem, are extended to more generalcases, and illustrated the monotonicity, limit, proof of the application of function inequality and identity etc. inapplicationKey words: Fermats theorem; Rolle theorem; Lagrange mean value theorem; Cauchy mean value theoremTaylor's theorem中国煤化工CNMHG