导数的应用

013年第2期林区教学No.22013总第191期Teaching of Forestry RegionGeneral No. 191导数的应用(绥化学院信息工程学院,黑龙江绥化152061)摘要:导教是研究函数的性质、求曲线的斛率以及求函数的极值、最值等问题的有力工具,更是经济学、物理中不可缺少的一部分。随着市场经济的不断发展,利用数学知识解决生活中的问题显得越来越重要。关键词:函数;导数;经济学;物理学分类号:0174文献标志码:A文章编号:1008-6714(2013)02-0087-02一、导数在经济学中的应用0.5-9800/x2,令C(x)=0,得x=140,又C(140)=1/140>0,所以最小平均成本存在,当生产140单位时平经济是国家的命脉,经济是保障人民生活稳定的条均成本最低。件,同时又是社会发展的决定因素。导数以它独特的优势例4:某商店每年销售某种商品a件,每次购进的手续正被作为一种工具,在经济分析中发挥其重要作用费为b元,而每件的存库费为c元/年,若该商品均匀销例1:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式售,且上批销售完后立即进下一批货,问商店应分几批购为C=100+4q,价格P与产量q的函数关系式为P=2进此种商品,能使所用的手续费及库存费总和最少?8q求产量q为何值时,利润L最大?解:设商店一年中分x批进货,则每批进货为a/x件,解收入R=q·p=q(25=25q-在均匀销售下年库存费用为2·元年购货手续总利润=R2C-(2)-(004费用为bx元,因而销售总费用y=bx+2lq-100(00)的作用,求物体在任例9:有一长度为5m的梯子,紧靠在铅直的墙上,它时刻的位移和速度(假定物体有向上的初速度2m/s,且阻的下端沿着地面以3m/s的速度匀速滑动离开墙角,若t力忽略不计)。0时梯子贴墙而立解:取x轴正向铅直向下,原点为平衡位置,依据牛顿(1)求梯子上端在距地面4m时的下滑速度第二定律,物体在时刻t的位移x=x(t)应满足微分方程(2)何时梯子两端的滑动速度值相等?=-8x+16cos4,将W=19.6,g=9.8代入(3)何时刻梯子上端的下滑速度为4m/s?dtdt解:设梯子上、下端在时刻t与墙角距离分别为y(t)得22+8x=16c04,从而有x"+4x=8c094相x(t),梯子的长为5m,因此有x2(t)+y2(t)(1)上面等式两边对t求导得2x·x(t)+2y:y(t)应齐次方程的通解为X=C1cos2t+C2sin2t,可求得非齐次0=y'(t)=--x'(t)方程的一个特解为x=-2c4,故x=C1cos2l+C2sin2t当上端距地4m时,下端距墙角为3m,且下端作3m/s3c4又由定解条件得C=,C2=-1,故得物体的匀速滑动,即y=4,x=3,x()=3,从而在任一时刻的位移和速度分别为y(t)=xx"(t)=-43(m/s)x=3021-sim2-304,即梯子上端的下滑速度为-ms(负号表示方向向dx 8下)。dt 3sin2t-2cos2t。(2)若梯子两端滑动速度的大小相等,即例7:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升),关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表3=|x(t)|=ly(t)|=|-x(t)示为:y=128002-80x+8(00,h(x)是增函[1]庄兴无高等数学[M].北京:北京理工大学出版社,数。所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25。2007因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值。[2]扬奇,毛云英,微积分及其应用[M].北京:机械工业出答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲版社,2006地到乙地耗油最少,最少为1.25升。[3]何柏庆,王竿当[1北科学出版社2007中国煤化工例8:落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外圈水波半径的增大率总是6m/8s,问在2s末扰动水面面CNMHG兴江编辑:钱晓玲〕