关于Lorenz方程的动力学性态研究

2011年2月廊坊师范学院学报(自然科学版)Feb 2011第11卷第1期Journal of Langfang Teachers College( Naturnal Science Edition)Vol 11 No. 1关于 Lorenz方程的动力学性态研究柴彩春(安徽财经大学应用数学研究所;安徽财经大学统计与应用数学学院安徽蚌埠233030【摘要】主要讨论 Loren方程的动力学性态,包括三个方面,首先讨论系统的奇点其次是p=1时零点的稳定性最后讨论系统的Hopf分支。【关键词】 Lorenz;奇点;稳定性;HopfThe Dynamic behavior of lorenz equationChai Caichun[Abstract) The dynamic behavior of Lorenz equation will be studied in the paper, there are three aspect: firstly,weconsider the equilibria of the system; secondly, the stability of zero equilibrium as p= 1; finally, we studied the Hopfbranch of the system【 Key words】 Lorenz; equilibrium; stability;Hopf〔中图分类号〕0175獻标识码〕A〔文章编号〕16743229(2011)01-0008Lorenz方程是美国著名气象学家 Lorenz为研R,[-(a+1)+√(a+1)-4(1-p)],究气候变化建立的3个确定性一阶非线性微分方程这3个方程就称为混沌领域的经典方程。-(+1)-√(G+1)2-4(1-Lorenz系统作为第一个混沌系统,具有举足轻重的作用。这里我们详细来分析它的动力学性态。所以,P<1时,O点稳定,且渐近稳定;p>1时,O点为不稳定的鞍点首先,写出 Lorenz方程如下2讨论p=1时,O(0,0,0)点的稳定性y=px-y+x,(x,y,z)∈R',a,p,>0。此时取 Liapunov函数v1讨论系统的奇点则V=σxx+y+zx(y-x)+y(x-y-xz)+ z(xy-Bz)直接计算可以得到,系统奇点为:p≤1时Bz奇点为O(0,0,0);p>1时,奇点为0(0,0,0S.(√队p-1D,pp-1,p-1),S.(-√RP-1)使=0的点为xy平面上的直线l:x=yR(p-1),p因为(x,x)≠(0,0)处的向量场为(0,0,x2)在O点,线性方程组的系数矩阵为与l垂直,所以=0的集合除(0,0,0)外,不含整0轨线,故此时O(0,0,0)渐近稳定。3讨论系统的Hopf分支容易求得,其特征值为当p>1时,0(0,0,0)为不稳定的鞍点,S,中国煤化工[收稿日期]2010-11-25基金项目]安徽财经大学青年科研基金( ACKYQ1065cCNMHG[作者简介]柴彩春(1981-),女,安徽财经大学讲师硕士,研究方向:微分方程。第11卷·第1期柴彩春:关于 Lorenz方程的动力学性态研究2011年2月S_的特征多项式为p>1或者a>B+1且11,则随着p从1逐(1)渐增大,可以观察到λ1从0逐渐减小直到与λ2相等因为f(λ)系数及常数项均大于零,所以S,(λ1=k2=0),然后它们变成复共轭对,其实部由不稳定ef(λ)有两个正实部的共轭复根负数逐渐增大穿过0但λ3对所有p>1均负,所以因为在P=1时,其特征值分别为0,-B,-(a对S,,S,它们变为不稳定时,必出现一个负实根+1),而0~292-12,所以,当p+0时,S,S及一对正实部的共轭复根。此时,S,,S均为鞍焦点。当p=A>1时,则系统出现Hop分支共轭虚只可能在极限值处失去稳定性。根为在p从1逐渐增大时,仅当Re(A)=0时不稳定性才可能出现,且此时两个共轭复根分别为λ若p进一步扩大则对一定范围的参数a,P系由(1)式知,x1+2+=-(+日+1),在稳统将在S,S上出现次临界的F分支若11时,不稳定1999[2]张锦炎,冯贝叶常微分方程几何理论与分支问题[M]性才可能出现。所以S,,S.稳定a